Question

在線段AB上任意選取一點M，在AB的同一側分別以AM、MB為底作正方形AMCD、MBEF，這兩個正方形的外接圓的圓心分別為點P、Q，設這兩個外接圓又交于點M、N．
（a）求證：線段AF、BC相交于點N；
（b）求證：不論點M如何選取，直線MN都通過一定點S；
（c）當點M在點A、B之間變動時，求線段PQ的中點的軌跡．

Answer 1

考點：圓的綜合題,梯形中位線定理,圓周角定理,平行線分線段成比例

專題：綜合題

分析：（a）如圖1，可先證明點N、A、F共線，再證明點N、B、C共線，就可解決問題．
（b）如圖2，易得∠ANM=∠MNB=45°，即射線NM平分∠ANB，根據(jù)圓周角定理得到NM的延長線通過直徑為AB的下半圓周的中點S．
（c）設PP′，QQ′和RR′分別是過P，Q和線段PQ的中點R到AB的垂線段，如圖3，則有PP′∥QQ′∥RR′．根據(jù)平行線分線段成比例可得R′是P′Q′的中點，根據(jù)梯形中位線定理可得RR′=

AB

4

，即R到AB的距離是常值．然后考慮點M到點A、點B兩個臨界位置，就可解決問題．

解答：解：（a）證明：連接AN、NF、BC、MN、NB和NC，如圖1，

則∠ANM=∠ADM=45°，∠MNF=180°-∠MBF=135°，
所以∠ANF=∠ANM+∠MNF=45°+135°=180°，
所以點N、A、F共線．
∵AC是⊙P的直徑，∴∠ANC=90°．
∵∠ANB=∠ANM+∠MNB═45°+45°=90°，
∴點C、B、N共線，
∴AF和BC交于N．
（b）證明：如圖2，

∵∠ANM=∠MNB=45°即射線NM平分∠ANB，
∴NM的延長線通過直徑為AB的下半圓周的中點S．
（c）設PP′，QQ′和RR′分別是過P，Q和線段PQ的中點R到AB的垂線段，如圖3，

則PP′∥QQ′∥RR′．
∵R為PQ的中點，∴R′是P′Q′的中點，
∴RR′=

1

2

（PP′+QQ′）=

1

2

（

1

2

AM+

1

2

MB）=

AB

4

，
即R到AB的距離是常值，
所以點R的運動路徑是平行于線段AB且與AB的距離為

AB

4

的一條線段．
當M到點A時，點P′到點A，此時AQ′=

AB

2

，AR′=

AB

4

．
當M到點B時，點Q′到點B，此時P′B=

AB

2

，R′B=

AB

4

．
因而R的軌跡長為AB-

AB

4

-

AB

4

=

AB

2

．
所以線段PQ的中點的軌跡是平行于線段AB且與AB的距離為

AB

4

的一條長為

AB

2

的線段．

點評：這是一道第一屆（1959年）國際數(shù)學奧林匹克試題，主要考查了圓周角定理、平行線分線段成比例、梯形的中位線定理等知識，確定動點的軌跡以及動點運動的起點和終點是求動點軌跡長的關鍵．