Question

20．如圖，已知CD為⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)F，∠C=30°，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：AE⊥BC；
（2）若AO=1，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）由垂徑定理可知$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，所以由圓周角定理可知：∠AOD=2∠C=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出∠CEO=90°
（2）連接OB，分別求出扇形OAB，三角形OAB的面積即可求出陰影部分的面積．

解答 解：（1）∵CD⊥AB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴由圓周角定理可知：∠AOD=2∠C，
∴∠COE=∠AOD=60°，
∴∠CEO=90°，
∴AE⊥BC
（2）連接OB，
由（1）可知：∠OAF=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$，
由勾股定理可知：AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由垂徑定理可知：AB=2AF=$\sqrt{3}$
∴△OAB的面積為：$\frac{1}{2}$AB•OF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$
扇形OAB的面積為：$\frac{120°π×1}{360°}$=$\frac{π}{3}$
∴陰影部分的面積為：$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理求出∠AOB的度數(shù)，以及OF、AF的長(zhǎng)度，本題屬于基礎(chǔ)題型．