Question

14．如圖，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB于B，過C作⊙O的切線PC，切點為D，與直線BC相交于C，與直線AB相交于P．
（1）求證：AD∥OC；
（2）試探究線段PA，PB，PD之間的等量關系，并加以證明；
（3）當CD=PD，且OC=4時，求BC的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由CD與CB都為圓O的切線，利用切線的性質及垂直定義得到一對直角相等，利用HL得到直角三角形ODC與直角三角形OBC全等，利用全等三角形的對應角相等得到一對角相等，再由OA=OD，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行即可得證；
（2）PD²=PA•PB，理由為：連接BD，利用直徑所對的圓周角為直角得到∠ADB為直角，利用等角的余角相等得到一對角相等，再由一對公共角相等，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形PAD與三角形DPB相似，由相似得比例即可得證；
（3）由AD與OC平行，得到三角形PAD與三角形CPO相似，由相似得比例，根據PD=DC，得到PA=AO，設AD=x，代入PD²=PA•PB表示出BC，根據勾股定理求出x的值，即可確定出BC的長．

解答 解：（1）連接OD，
∵CD，CB均為⊙O的切線，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
在Rt△ODC和Rt△OBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），
∴∠COD=∠COB=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠COD=∠ODA=∠COB=∠OAD，
∴AD∥OC；
（2）PD²=PA•PB，理由為：
證明：連接BD，則∠ADB=90°，
又∠PDO=90°，
∴∠PDA+∠ODA=∠PBD+∠OAD=90°．
又∵∠ODA=∠OAD，
∴∠PDA=∠PBD，
又∠DPB=∠APD，
∴△PAD∽△PDB，
∴$\frac{PA}{PD}$=$\frac{PD}{PB}$，
∴PD²=PA•PB；
（3）∵AD∥OC，
∴△PAD∽△POC，
∴$\frac{PA}{AO}$=$\frac{PD}{CD}$，
又PD=CD，
∴PA=OA，
設DA=x，則OA=OB=PA=x，PD²=PA•PB=3x²，
∴BC²=CD²=PD²=3x²，
在△OBC中，由勾股定理，得3x²+x²=16，
∵x＞0，
∴x=2，
∴BC=2$\sqrt{3}$．

點評 此題屬于圓的綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，圓周角定理，平行線的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，以及切線的性質，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．