Question

1．如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB，將矩形沿AE折疊，使B落到B′的位置，并且B′E與對(duì)角線BD垂直．
（1）證明：∠B′AD=∠ADB；
（2）判斷△AEF的形狀，并說明理由；
（3）若AB=2，求EF的長度．

Answer 1

分析 （1）由B′E⊥BD，∠B′=∠ABC=90°，證得AB′∥BD，即可得出結(jié)論；
（2）由四邊形ABCD是矩形，得出AD∥BC，∠FAE=∠AEB，由對(duì)折可知∠AEB=∠AEB′，從而得出∠FAE=∠AEB′，即可得出△AEF是等腰三角形；
（3）證出△AB′F∽△DAB，得出$\frac{AB′}{B′F}$=$\frac{AD}{AB}$，求出B′F的值，由勾股定理求得AF的值，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠ABC=90°，
由題意得：B′E⊥BD，∠B′=∠ABC=90°，
∴AB′∥BD，
∴∠B′AD=∠ADB；
（2）解：△AEF是等腰三角形；理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE=∠AEB，
由折疊的性質(zhì)得：∠AEB=∠AEB′，
∴∠FAE=∠AEB′，
∴△AEF是等腰三角形；
（3）解：∵∠B′=∠BAD=90°，∠B′AD=∠ADB，
∴△AB′F∽△DAB，
∴$\frac{AB′}{B′F}$=$\frac{AD}{AB}$，
而AB′=AB=2，AD=2AB=4，
∴B′F=$\frac{AB′•AB}{AD}$=$\frac{2×2}{4}$=1，
由勾股定理得：AF²=AB′²+B′F²，
即AF²=2²+1²=5
∴AF=$\sqrt{5}$，
由（2）可知，EF=AF，
∴EF=$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，特別是（3）中，需要通過證明三角形相似和運(yùn)用勾股定理才能得出結(jié)果．