Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的一邊OA在x軸上且B（4，3）．雙曲線y=

k

x

(x＞0)交BC于點(diǎn)P，交AB于點(diǎn)Q．
（1）若P為邊BC的中點(diǎn)，求雙曲線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（2）若雙曲線y=

k

x

(x＞0)和線段BC有公共點(diǎn)，求k的取值范圍；
（3）連接PQ，AC，當(dāng)PQ存在時(shí)，PQ∥AC是否總成立？若成立請(qǐng)證明，若不成立也請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：壓軸題,數(shù)形結(jié)合

分析：（1）求反比例函數(shù)，找出該曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)即可；
（2）反比例函數(shù)的k=xy，只要知道x和y的值的范圍即可得；
（3）求PQ∥AC，即找出線段比值是否相等．

解答：解：（1）P為邊BC的中點(diǎn)，則P（2，3），k=6，
函數(shù)表達(dá)式為y=

6

x

．
由圖可知點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為4，
把x=4代入y=

6

x

，解得y=

3

2

，
則Q（4，

3

2

）；

（2）線段BC的縱坐標(biāo)為3，雙曲線y=

k

x

(x＞0)和線段BC有公共點(diǎn)，即y的值恒為3，
當(dāng)x值取最大值為4時(shí)，可得k最大值為12，
則k取值范圍為0＜k＜12；

（3）成立；點(diǎn)P、Q都是在反比例函數(shù)上，
由y=

k

x

，可得Q（4，

k

4

），P（

k

3

，3）；
則BP=4-

k

3

，BC=4，
BQ=3-

k

4

，BA=3；
則

PB

BC

=

4- k 3

4

=1-

k

12

，

BQ

BA

=

3- k 4

3

=1-

k

12

；
即

PB

BC

=

BQ

BA

，
由平行線分線段成比例定理可得PQ∥AC．

點(diǎn)評(píng)：考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，以及兩直線平行的判定，結(jié)合圖形解答本題是關(guān)鍵，此題難度不大，屬于中檔題．