Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD=2，∠C=

1

2

∠A．
（1）求BC的長；
（2）利用尺規(guī)作圖畫出△BCD的外接圓，并求出外接圓半徑r．（不寫作法，保留作圖痕跡）

Answer 1

考點：作圖—復(fù)雜作圖,等腰梯形的性質(zhì),三角形的外接圓與外心

專題：

分析：（1）首先過D作DE∥AB，然后證明四邊形ABED是平行四邊形可得AD=BE=2，早根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得∠A=∠ADC，∠ADC+∠C=180°，AB=DC，進而算出∠C=60°，再證明△DEC是等邊三角形，可得EC=2，進而得到BC長；
（2）首先畫出圖形，然后可證明BC就是直徑，進而得到半徑．

解答：解：（1）過D作DE∥AB，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∴AD=BE=2，AB=DE，
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠A=∠ADC，∠ADC+∠C=180°，AB=DC，
∵∠C=

1

2

∠A．
∴∠C=

1

2

∠ADC，
∵∠ADC+∠C=180°，
∴∠C=60°，
∵AB=DE，AB=DC，
∴DE=DC，
∴△DEC是等邊三角形，
∵CD=2，
∴EC=2，
∴CB=4；

（2）如圖所示：
∵∠BAD=120°，AB=AD，
∴∠ABD=30°，
∵∠ABC=∠C=60°，
∴∠BDC=90°，
∴BC是直徑，
∴外接圓半徑r=2．

點評：此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及線段垂直平分線的畫法和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握等腰梯形同一底上的兩個角相等．