Question

11．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)是6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AC，BC邊上，AE=CF，連接AF，BE相交于點(diǎn)P．
（1）求∠APB的度數(shù)；
（2）若AE=2，求BP•BE的值．

Answer 1

分析 （1）證明△ABE≌△CAF，借用外角即可以得到答案；
（2）用平行線分線段成比例定理或者三角形相似定理即可以得到答案．

解答 （1）解：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，
又∵AE=CF，
在△ABE和△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠ACF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．
又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，
∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．
∴∠APB=180°-∠APE=120°．

（2）∵∠BAC=∠APE=60°，∠PAE=∠EBA，
∴△APE∽△ABE
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{BP}{AB}$，
∴BP•BE=12

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定及性質(zhì)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是注意轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用．