Question

6．在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在BC上，CD=BE=AB，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，連接CF并延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)G．
（1）如圖1，若AD=3，AE=$\sqrt{10}$，求CD的長(zhǎng)；
（2）如圖2，若AD=BD，求證：BG=BD．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理得到DE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{D}^{2}}$=1，推出BD=CE，設(shè)BD=CE=x，則，AB=BD+DE=x+1根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
（2）連接BF，DF，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠DBA=∠DAB=45°，推出DF=AF=EF，過F作FH⊥BC于H，得到FH垂直平分BC，求得BF=CF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EBF=∠ECF=22.5°，于是得到∠BGF=∠BDF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵AD⊥BC，AD=3，AE=$\sqrt{10}$，
∴DE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{D}^{2}}$=1，
∵CD=BE=AB，
∴BE-DE=CD-DE，
∴BD=CE，
設(shè)BD=CE=x，則，AB=BD+DE=x+1
∵AD²+BD²=AB²，即；3²+x²=（x+1）²，
∴x=4，
∴CE=4，
∴CD=5；

（2）證明：連接BF，DF，
∵AD⊥BC，
∴AD=BD，
∴∠DBA=∠DAB=45°，
∵CD=BE=AB，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，
∴BF⊥AE，
∴∠ABF=∠EBF=22.5°，
∠BAE=∠BEA=67.5°，
∴DF=AF=EF，
過F作FH⊥BC于H，
∴DH=EH，
∵BD=CE，
∴BH=CH，
∴FH垂直平分BC，
∴BF=CF，
∴∠EBF=∠ECF=22.5°，
∴∠EFC=∠AFG=∠BEA-∠ECF=45°，
∴∠AGF=∠FDE=67.5°，
∴∠BGF=∠BDF，
在△BGF與△BDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABF=∠EBF}\\{∠BGF=∠BDF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△BGF≌△BDF，
∴BG=BD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．