Question

4．已知關(guān)于x的一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0（k是整數(shù)）．
（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程有兩個(gè)實(shí)根分別是x₁，x₂（其中x₁＜x₂）．
①用含k的式子表示x₁和x₂；
②設(shè)m=x₂-x₁-2，求mk的值．

Answer 1

分析 （1）只要證明△$＞\\;0$即可．
（2）①利用因式分解法解方程即可解決問題．
②根據(jù)m=x₂-x₁-2列出方程，即可解決問題．

解答 解：（1）∵△=16k²+8k+1-4k（3k+3）=4k²-4k+1=（2k-1）²，
∵k是整數(shù)，
∴△＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）①∵kx²-（4k+1）x+3k+3=0，
∴（x-3）（kx-k-1）=0，
∴x=3或$\frac{k+1}{k}$，
∵x₁＜x₂，
∴x₁=$\frac{k+1}{k}$，x₂=3，
②由題意m=3-$\frac{k+1}{k}$-2，
∴mk=3k-k-1-2k，
∴mk=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根與系數(shù)關(guān)系、根的判別式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)利用因式分解法解方程，屬于中考�？碱}型．