Question

規(guī)定：把一次函數(shù)y=kx+b的一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)互換得y=bx+k，我們稱y=kx+b和y=bx+k（其中k•b≠0，且|k|≠|(zhì)b|）為互助一次函數(shù)，例如y=-

2

3

x+2和y=2x-

2

3

就是互助一次函數(shù)．如圖，一次函數(shù)y=kx+b和它的互助一次函數(shù)的圖象l₁，l₂交于P點(diǎn)，l₁，l₂與x軸，y軸分別交于A，B點(diǎn)和C，D點(diǎn)．
（1）如圖（1），當(dāng)k=-1，b=3時(shí)，
①直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)：P

 

；
②Q是射線CP上一點(diǎn)（與C點(diǎn)不重合），其橫坐標(biāo)為m，求四邊形OCQB的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)△BCQ與△ACP面積相等時(shí)m的值；
（2）如圖（2），已知點(diǎn)M（-1，2），N（-2，0）．試探究隨著k，b值的變化，MP+NP的值是否發(fā)生變化？若不變，求出MP+NP的值；若變化，求出使MP+NP取最小值時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）①當(dāng)k=-1，b=3時(shí)得到兩函數(shù)解析式，進(jìn)而求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可；
②首先利用S=S_△OBQ+S_△OCQ=2m-

1

6

(m＞

1

3

)，得出S_△BCQ=S-S_△BOC=2m-

2

3

，再利用S_△ACP=

8

3

，
由S_△BCQ=S_△ACP，得 2m-

2

3

=

8

3

，進(jìn)而得出答案；
（2）作點(diǎn)N（-2，0）關(guān)于直線x=1的對稱點(diǎn)N′（4，0），連接MN′交直線x=1于點(diǎn)P，則此時(shí)MP+NP取得最小值，進(jìn)而得出直線MN′的解析式求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）①∵一次函數(shù)y=kx+b和它的互助一次函數(shù)的圖象交于P點(diǎn)，
k=-1，b=3時(shí)，
∴

y=-x+3 y=3x-1

，
解得：

x=1 y=2

，
∴P（1，2）；           
故答案為：（1，2）；
              
②如圖（1），連接OQ，
∵y=-x+3與y=3x-1的圖象l₁，l₂與x軸，y軸分別交于A，B點(diǎn)和C，D點(diǎn)．
∴A（3，0），B（0，3），C（

1

3

，0），D（0，-1）．                 
∵Q（m，3m-1），（m＞

1

3

），
∴S=S_△OBQ+S_△OCQ=

1

2

×3×m+

1

2

×

1

3

×(3m-1)=2m-

1

6

(m＞

1

3

)． 
∴S_△BCQ=S-S_△BOC=2m-

1

6

-

1

2

×3×

1

3

=2m-

2

3

，
而S_△ACP=

1

2

×(3-

1

3

)×2=

8

3

，
由S_△BCQ=S_△ACP，得 2m-

2

3

=

8

3

，
解得m=

5

3

； 
                            
（2）由

y=kx+b y=bx+k

，
解得 

x=1 y=k+b

，即P（1，k+b），
∴隨著k，b值的變化，點(diǎn)P在直線x=1上運(yùn)動，MP+NP的值隨之發(fā)生變化．
如圖（2），作點(diǎn)N（-2，0）關(guān)于直線x=1的對稱點(diǎn)N′（4，0），
連接MN′交直線x=1于點(diǎn)P，則此時(shí)MP+NP取得最小值．
設(shè)直線MN′的解析式為y=cx+d，依題意

-c+d=2 4c+d=0

，
解得  

c=- 2 5 d= 8 5

，
∴直線MN′的解析式為y=-

2

5

x+

8

5

．                           
令x=1，則y=

6

5

，
∴P（1，

6

5

），
即 使MP+NP取最小值時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

6

5

）．

點(diǎn)評：此題主要考查了一次函數(shù)綜合以及利用軸對稱求最短路徑問題和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識，利用新定義理解互助一次函數(shù)定義是解題關(guān)鍵．