Question

17．如圖1，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=a，AD、BE交于點H，連CH．
（1）求∠AHE的度數(shù)；（用a表示）
（2）如圖2，連接CH，求證：CH平分∠AHE；
（3）如圖3，若a=60°，P，Q 分別是AD，BE的中點，連接CP，PQ，CQ．請判斷三角形PQC的形狀，并證明．

Answer 1

分析 （1）由條件可證明△ACD≌△BCE，可得∠CAD=∠CBE，再利用三角形內角及外角的性質可求得∠AHE；
（2）過點C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，可證明△ACM≌△BCN，可證得CM=CN，利用角平分線的判定可證明結論；
（3）由條件先證明△APC≌△BQC，可求得∠PCA=∠QCB，則可證明△PCQ為正三角形．

解答 （1）解：
∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠AMC=∠AMC，
∴∠AHB=∠ACB=α，
∴∠AHE=180°-α，；
（2）證明：過點C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，

∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAM=∠CBN，
在△ACM和△BCN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAM=∠CBN}\\{∠AMC=∠BNC=90°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△ACM≌△BCN（AAS），
∴CM=CN，
∴CH平分∠AHE；
（3）解：△CPQ是等邊三角形，
理由如下：
∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，∠PAC=∠QBC，
∵P、Q分別是AD、BE的中點，
∴AP=BQ，
在△APC和△BQC中
$\left\{\begin{array}{l}{AP=BQ}\\{∠PAC=∠QBC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△APC≌△BQC（SAS），
∴CP=CQ，∠PCA=∠QCB，
∴∠PCQ=∠ACB=60°，
∴△CPQ是正三角形．

點評 本題主要考查全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性質（全等三角形的對應邊相等、對應角相等）．