Question

如圖，線段AB是圓O的直徑，直線PQ經(jīng)過圓上一點C，PQ∥AB，連結(jié)AC、BC，且AC=BC，AC=5

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．點D是圓O上一點，且BD=5．
（1）求證：PQ是圓O的切線；
（2）求∠CBD的大�。�

Answer 1

考點：切線的判定,勾股定理

專題：

分析：（1）利用三角形ABC是等腰直角三角形的性質(zhì)（三線合一），以及PQ∥AB，得出OC⊥PQ得出結(jié)論；
（2）利用勾股定理求得AB的長，進(jìn)一步分情況探討：①點D在弧BC上；②點D在弧BA上．

解答：（1）證明：如圖，

連接OC，
∵AB是圓O的直徑，OA=OB，AC=BC，
∴OC⊥AB
又∵PQ∥AB
∴OC⊥PQ
又∵點C在圓上，PQ經(jīng)過點C，
∴PQ是圓O的切線．
（2）解：∵AB是圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
根據(jù)勾股定理，AB=

AC2+BC2

=10，
點D是圓O上一點，且BD=5
∴OD=OB=BD=5，
∴∠OBD=60°，
又∵AC=BC，
∴∠OBC=45°，
如圖，

∴∠CBD=60°+45°=105°，或∠CBD=60°-45°=15°
即∠CBD=105°或15°．

點評：此題考查切線的判定，以及等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及分類討論思想的滲透．