Question

6．如圖，矩形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，過O作EF⊥AC，交AD于E，交BC于F，連接AF、CE．
（1）求證：四邊形AECF是菱形
（2）若AB=3，BC=4，則菱形AECF的周長？

Answer 1

分析 （1）利用已知條件和矩形的性質(zhì)易證△AEO≌△CFO，進而可得四邊形AECF是平行四邊形，又因為EF⊥AC，所以可證明四邊形AECF是菱形
（2）設AE=CE=x，則DE=4-x，在直角三角形EDC中，利用勾股定理可求出x的值，進而可求出菱形的周長．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
∵EF⊥AC，
∴∠AOE=∠COF=90°，
在△AEO和△CFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OCF}\\{AO=CO}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△CFO，
∴OE=OF，
∵AO=CO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形；

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，BC=AD=4，
AE=CE=x，則DE=4-x，在直角三角形EDC中由勾股定理可得：CE²=DE²+CD²，
即a²=（4-a）²+3²，
解得：a=$\frac{25}{8}$，
∴菱形AECF的周長=4×$\frac{25}{8}$=12.5．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運用，熟記各種特殊四邊形的判定方法和性質(zhì)是解題關鍵．