Question

已知二次函數(shù)y=mx²-（m-1）x-1．（m≠0）
（1）求證：這個(gè)二次函數(shù)的圖象一定與x軸有交點(diǎn)；
（2）若這個(gè)二次函數(shù)有最大值0，求m的值；
（3）我們定義：若二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸正半軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₁、x₂（x₁＞x₂），滿足-6＜

x1

x2

＜6，則稱這個(gè)二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)“規(guī)范交點(diǎn)”．如果二次函數(shù)y=mx²-（m-1）x-1與x軸有兩個(gè)“規(guī)范交點(diǎn)”，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先求出b²-4ac的值，進(jìn)而配方求出其符號(hào)，進(jìn)而得出答案；
（2）對(duì)于y=mx²-（m-1）x-1，由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，當(dāng)x=

m-1

2m

時(shí)，y有最值-

(m+1)2

4m

，進(jìn)而得出m的值；
（3）首先求出該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出①當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，②當(dāng)m＜-1時(shí)，得出m的準(zhǔn)確取值．

解答：解：（1）∵y=mx²-（m-1）x-1，
∴b²-4ac=[-（m-1）²]-4m×（-1），
=m²-2m+1+4m=（m+1）²≥0．
∴二次函數(shù)的圖象一定與x軸有交點(diǎn)．

（2）對(duì)于y=mx²-（m-1）x-1，由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，當(dāng)x=

m-1

2m

時(shí)，
y有最值-

(m+1)2

4m

，
∵二次函數(shù)有最大值0，∴m=-1．

（3）∵y=mx²-（m-1）x-1=（mx+1）（x-1），該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）和（-

1

m

，0），且m≠-1．
由定義知“規(guī)范交點(diǎn)”應(yīng)該位于x軸的正半軸，∴-

1

m

＞0，解得m＜0．
①當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，-

1

m

＞1，∴

x1

x2

=-

1

m

．
當(dāng)-6＜-

1

m

＜6時(shí)，有6＞

1

m

＞-6，∴-1＜m＜-

1

6

．
②當(dāng)m＜-1時(shí)，1＞-

1

m

，∴

x1

x2

=-m．
當(dāng)-6-m＜6時(shí)，有6＞m＞-6，∴-6m＜-1．
由①、②知，當(dāng)-6＜m＜-1或-1＜m＜-

1

6

時(shí)，二次函y=mx²-（m-1）x-1與x軸都有兩個(gè)“規(guī)范交點(diǎn)”．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及新定義和一元二次方程根的判別式等知識(shí)，利用分段函數(shù)討論得出m的取值范圍是解題關(guān)鍵．