Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形OABC是矩形，點A，C的坐標分別為A（10，0），C（0，4），點D是OA的中點，點P為線段BC上的點．小明同學寫出了一個以OD為腰的等腰三角形ODP的頂點P的坐標（3，4），請你寫出其余所有符合這個條件的P點坐標

 

．

Answer 1

考點：矩形的性質,坐標與圖形性質,等腰三角形的判定

專題：分類討論

分析：根據點A、C的坐標求出OA、OC，再根據線段中點的定義求出OD=5，過點P作PE⊥x軸于E，根據已知點P（3，4）判斷出OP=OD，再根據PD=OD利用勾股定理列式求出DE的長，然后分點E在點D的左邊與右邊兩種情況求出OE，然后寫出點P的坐標即可．

解答：解：∵A（10，0），C（0，4），
∴OA=10，OC=4，
∵點D是OA的中點，
∴OD=

1

2

OA=

1

2

×10=5，
過點P作PE⊥x軸于E，
則PE=OC=4，
∵P（3，4），
∴OP=

32+42

=5，
∴此時，OP=OD，
當PD=OD時，由勾股定理得，DE=

PD2-PE2

=

52-42

=3，
若點E在點D的左邊，OE=5-3=2，
此時，點P的坐標為（2，4），
若點E在點D的右邊，則OE=5+3=8，
此時，點P的組別為（8，4），
綜上所述，其余的點P的坐標為（2，4）或（8，4）．
故答案為：（2，4）或（8，4）．

點評：本題考查了矩形的性質，坐標與圖形性質，等腰三角形的性質，勾股定理，難點在于要分兩種情況寫出點P的坐標．