Question

5．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，AB=8．
（1）利用尺規(guī)，作∠CAB的平分線，交⊙O于點(diǎn)D；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）的條件下，連接CD，OD，若AC=CD，求∠B的度數(shù)；
（3）在（2）的條件下，OD交BC于點(diǎn)E，求由線段ED，BE，$\widehat{BD}$所圍成區(qū)域的面積．（其中$\widehat{BD}$表示劣弧，結(jié)果保留π和根號(hào)）

Answer 1

分析 （1）由角平分線的基本作圖即可得出結(jié)果；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理得出∠CAD=∠B，再由角平分線得出∠CAD=∠DAB=∠B，由圓周角定理得出∠ACB=90°，得出∠CAB+∠B=90°，即可求出∠B的度數(shù)；
（3）證出∠OEB=90°，在Rt△OEB中，求出OE=$\frac{1}{2}$OB=2，由勾股定理求出BE，再由三角形的面積公式和扇形面積公式求出△OEB的面積=$\frac{1}{2}$OE•BE=2$\sqrt{3}$，扇形BOD的面積═$\frac{8π}{3}$，所求圖形的面積=扇形面積-△OEB的面積，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）如圖1所示，AP即為所求的∠CAB的平分線；
（2）如圖2所示：
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC，
又∵∠ADC=∠B，
∴∠CAD=∠B，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB=∠B，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°；
（3）由（2）得：∠CAD=∠BAD，∠DAB=30°，
又∵∠DOB=2∠DAB，
∴∠BOD=60°，
∴∠OEB=90°，
在Rt△OEB中，OB=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴OE=$\frac{1}{2}$OB=2，
∴BE=$\sqrt{O{B}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴△OEB的面積=$\frac{1}{2}$OE•BE=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，扇形BOD的面積=$\frac{60π•{4}^{2}}{360}$=$\frac{8π}{3}$，
∴線段ED，BE，$\widehat{BD}$所圍成區(qū)域的面積=$\frac{8π}{3}$-2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓的綜合題目，考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、扇形面積公式等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．