Question

已知二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象如圖所示，它與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．
（1）求出b，c的值，并寫出此二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象，直接寫出函數(shù)值y為正數(shù)時(shí)，自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)

1

2

≤x≤2時(shí)，求y的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題

分析：（1）先把（-1，0），（0，3）代入y=-x²+bx+c得到關(guān)于b、c的方程組，解方程組求出b、c，從而確定二次函數(shù)的解析式；
（2）先確定拋物線與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，然后觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)-1＜x＜3時(shí)，函數(shù)圖象都在x軸上方，即y＞0；
（3）先把解析式配成頂點(diǎn)式得到y(tǒng)=-（x-1）²+4，則拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，由于

1

2

≤x≤2，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答：解：（1）將（-1，0），（0，3）代入y=-x²+bx+c得

-1-b+c=0 c=3

，
解得

b=2 c=3

，
所以二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2x+3；
（2）把y=0代入y=-x²+2x+3得-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
所以當(dāng)-1＜x＜3，y＞0；
（3）y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
∵

1

2

≤x≤2，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y的最大值為4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．