Question

19．如圖，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，O是EG的中點(diǎn)，∠EGC的平分線GH過(guò)點(diǎn)D，交BE于點(diǎn)H，連接OH，F(xiàn)H，EG與FH交于點(diǎn)M，對(duì)于下面四個(gè)結(jié)論：
①GH⊥BE；②BG=EG；③△MFG為等腰三角形；④DE：AB=1+$\sqrt{2}$，
其中正確結(jié)論的序號(hào)為①②③．

Answer 1

分析 證明△BCE≌△DCG，即可證得∠BEC=∠DGC，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理證得∠EHG=90°，則HG⊥BE，然后證明△BGH≌△EGH，則H是BE的中點(diǎn)，則OH是△BGE的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理即可得到HO=$\frac{1}{2}$BG，HO∥BG，以及∠MOH=∠EGC=45°，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得出OF=$\frac{1}{2}$EG，∠OFG=45°，以及OH=OF，根據(jù)∠MHO+∠HOM=∠OFH+∠OFG，即可得出∠FMG=∠MFG，最后根據(jù)等腰直角三角形的邊角關(guān)系，得出DB：AB=$\sqrt{2}$：1，即可得到DE：AB=$\sqrt{2}$：1．

解答 解：∵正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，
∴∠BCE=∠DCG=90°，BC=DC，EC=GC，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴∠CGD=∠CEB，
又∵∠CDG=∠HDE，
∴∠EHD=∠GCD=90°，
∴GH⊥BE，故①正確；

∵∠EGC的平分線GH過(guò)點(diǎn)D，
∴∠BGH=∠EGH，
∵GH⊥BE，
∴∠BHG=∠EHG=90°，
∴△BGH≌△EGH（ASA），
∴BG=EG，故②正確；

∵BG=EG，GH⊥BE，
∴H為BE的中點(diǎn)，
又∵O是EG的中點(diǎn)，
∴HO是△BEG的中位線，
∴HO=$\frac{1}{2}$BG，HO∥BG，
∴∠MOH=∠EGC=45°，
如圖，連接FO，
∵O是EG的中點(diǎn)，
∴等腰Rt△EFG中，OF=$\frac{1}{2}$EG，∠OFG=45°，
∴OH=OF，
∴∠OHF=∠OFH，
∴∠MHO+∠HOM=∠OFH+∠OFG，即∠FMG=∠MFG，
∴FG=MG，即△MFG是等腰三角形，故③正確；

如圖，連接BD，
∵HG垂直平分BE，
∴DE=DB，
∵Rt△ABD中，DB：AB=$\sqrt{2}$：1，
∴DE：AB=$\sqrt{2}$：1，故④錯(cuò)誤；
故答案為：①②③

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了四邊形的綜合應(yīng)用，解題時(shí)需要綜合運(yùn)用正方形的性質(zhì)，三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定等，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造等腰三角形和等腰直角三角形，靈活利用直角三角形的邊角關(guān)系來(lái)計(jì)算．