Question

10．如圖在△ABC中，∠BAD=∠CAD，∠C＞∠B，AF⊥BC于點F．求證：∠DAF=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．

Answer 1

分析 首先根據三角形的內角和定理和角平分線的定義表示∠DAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C），然后根據三角形的內角和定理及等式的性質表示出∠FAD，最后根據等量代換即可得證．

解答 證明：∵AD平分∠BAC（已知），
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC（角平分線定義）．
∵∠BAC+∠B+∠C=180°（三角形三個內角的和等于180°），
∴∠BAC=180°-∠B-∠C（等式性質）．
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）（等量代換）．
∵AF⊥BC（已知），
∴∠AFC=90°（垂直定義）．
在△AFC中，∠AFC+∠C+∠FAC=180°（三角形三個內角的和等于180°），
∴∠FAC=180°-∠AFC-∠C（等式性質）=90°-∠C．
∴∠FAD=∠DAC-∠FAC
=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）
=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）-$\frac{1}{2}$（180°-2∠C）
=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C-180°+2∠C）
=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．

點評 本題主要考查了三角形的內角和定理、角平分線的定義、垂直的定義等知識．解決問題的關鍵是運用三角形內角和定理以及角的和差關系進行計算．