Question

16．如圖所示：在△ABC中，分別以AB、AC、BC為邊，在BC的同側(cè)作等邊△ABD、等邊△ACE、等邊△BCF．
（1）求證：四邊形DAEF是平行四邊形；
（2）探究下列問題：（只填條件，不需證明）
①當(dāng)∠BAC滿足∠BAC=150°條件時，四邊形DAEF是矩形；
②當(dāng)∠BAC滿足∠BAC=60°條件時，以D、A、E、F為頂點的四邊形不存在；
③當(dāng)△ABC滿足∠BAC=150°且AB=AC條件時，四邊形DAEF是正方形．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)得出AC=CE=AE，AB=AD=BD，BC=CF=BF，∠BCF=∠ACE=60°，求出∠BCA=∠FCE，證△BCA≌△FCE，得出EF=BA=AD，同理DF=AC=AE，即可得出結(jié)論；
（2）①求出∠DAE的度數(shù)，根據(jù)矩形的判定得出即可；
②證出D、A、E三點共線，即可得出結(jié)論；
③由①得出四邊形DAEF是矩形；再由AB=AC≠BC得出四邊形DAEF是菱形，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵△ABD、△BCE、△ACE是等邊三角形，
∴AC=CE=AE，AB=AD=BD，BC=CF=BF，∠BCF=∠ACE=60°，
∴∠BCA=∠FCE=60°-∠ACF，
在△BCA和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CF}&{\;}\\{∠BCA=∠FCE}&{\;}\\{AC=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCA≌△FCE（SAS），
∴EF=BA=AD，
同理：DF=AC=AE，
∴四邊形DAEF是平行四邊形；
（2）解：①當(dāng)∠A=150°時，四邊形DAEF是矩形，理由如下：
∵△ABD、△ACE是等邊三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAE=360°-60°-60°-150°=90°，
∵四邊形DAEF是平行四邊形，
∴四邊形DAEF是矩形，
故答案為：=150°；
②當(dāng)∠BAC=60°時，以D、A、E、F為頂點的四邊形不存在；理由如下：
∵∠BAC=60°，∠BAD=∠CAE=60°，
∴點D、A、E共線，
∴以D、A、E、F為頂點的四邊形不存在；
故答案為：∠BAC=60°；
③當(dāng)△ABC滿足∠BAC=150°，且AB=AC≠BC時，四邊形DAEF是正方形，理由如下：
由①得：當(dāng)∠BAC=150°時，四邊形DAEF是矩形；
當(dāng)AB=AC時，由（1）得：EF=AB=AD，DF=AC=AE，
∵AB=AC，
∴AD=AE，
∵四邊形DAEF是平行四邊形，
∴四邊形DAEF是菱形，
∴四邊形DAEF是正方形．
故答案為：∠BAC=150°，AB=AC．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、平行四邊形的判定、菱形的判定、矩形的判定以及正方形的判定；解此題的關(guān)鍵是求出EF=BA=AD，DF=AC=AE，主要考查了學(xué)生的推理能力．