Question

3．如圖，已知直線y=3-x交x軸于點A，交y軸于點B．雙曲線y=$\frac{2}{x}$（x＞0）與直線交于點C、點D．點P是雙曲線上位于C、D兩點之間的一動點，過點P作y 軸的垂線交y軸于點F，交直線與點N．過點P作x軸的垂線交x軸于點E，交直線于點M．則BM•AN的值為（　�。�

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 4
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 過點M作MG⊥OB于G，過點N作NH⊥OA于H，然后由直線y=4-x交x軸、y軸于A、B兩點，求得點A與B的坐標，則可得OA=OB，即可得△AOB，△BGM，△AHN是等腰直角三角形，則可得AN•BM=2GM•HN，再由矩形的性質(zhì)和反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 解：過點M作MG⊥OB于G，過點N作NH⊥OA于H，如圖所示：
∵直線y=4-x交x軸、y軸于A、B兩點，
∴A（4，0），B（0，4），
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∴BG=GM，AH=HN，
∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴四邊形GMPF與EHNP是矩形，
∴GM=PF，HM=PE，
∵P是反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$圖象上的一點，
∴PF′PE=2，
∴GM•HN=2，
在Rt△BGM中，BM=$\frac{GM}{sin45°}$=$\sqrt{2}$GM，
在Rt△AHN中，AN=$\frac{HN}{sin45°}$=$\sqrt{2}$HN，
∴AN′BM=$\sqrt{2}$GM•$\sqrt{2}$HN=2GM•HN=4．
故選C．

點評 此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，以及矩形、等腰直角三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想的應用．