Question

14．如圖1，邊長為m的正方形OBCD的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)處，點(diǎn)B、D分別在y軸、x軸上，點(diǎn)A是DO邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、D重合），∠CAG=90°，且AG與正方形的外角平分線OI交于點(diǎn)E，線段OA的長為n
（1）若|$\sqrt{m-1}$-2|+$\sqrt{2-n}$=0，求m和n的值；
（2）在（1）的條件下求出E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）如圖2，連接CE交y軸于點(diǎn)F，當(dāng)BF=OF時(shí)，求OA：AD的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得：$\sqrt{m-1}$-2=0，2-n=0，即可求出m、n的值；
（2）作EM⊥x軸于M，設(shè)OM=EM=x，證明△ADC∽△EMA，得出比例式求出x，即可得出結(jié)果；
（3）作EM⊥x軸于M，在CD上截取DH=DA，連接AH，延長CE交x軸于N，先證明△AHC≌△EOA，得出AC=EA，再證明△ADC≌△EMA，得出AD=EM，再由BC∥ON，BF=OF，得出比例式$\frac{ON}{BC}=\frac{NF}{CF}=\frac{OF}{BF}$=1，得出ON=BC，OF=$\frac{1}{2}$ON，設(shè)EM=OM=x，則MN=2x，AD=EM=x，求出OA=2x，AD=x，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）∵|$\sqrt{m-1}$-2|+$\sqrt{2-n}$=0，
∴$\sqrt{m-1}$-2=0，2-n=0，
∴m=5，n=2；
（2）作EM⊥x軸于M，如圖1所示：
∵m=5，n=2，
∴OD=CD=5，OA=2，
∵OE平分∠BOM，
∴∠EOM=45°，
∴EM=OM，
設(shè)OM=EM=x，
∵∠CAG=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，
∵∠DAC+∠MAE=90°，
∴∠DCA=∠MAE，
∴△ADC∽△EMA，
∴$\frac{AD}{EM}=\frac{CD}{AM}$，即$\frac{3}{x}=\frac{5}{2+x}$，
解得：x=3，
∴OM=EM=3，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3）；
（3）作EM⊥x軸于M，在CD上截取DH=DA，連接AH，延長CE交x軸于N，如圖2所示：
則CH=AO，
∵∠ODC=90°，
∴∠DHA=45°，
∴∠CHA=135°，
∵∠AOE=180°-45°=135°，
∴∠CHA=∠AOE，
在△AHC和△EOA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DCA=∠MAE}&{\;}\\{CH=AO}&{\;}\\{∠CHA=∠AOE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AHC≌△EOA（ASA），
∴AC=EA，
在△ADC和△EMA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DCA=∠MAE}&{\;}\\{∠ADC=∠EMA=90°}&{\;}\\{AC=EA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△EMA（AAS），
∴AD=EM，
∵BC∥ON，BF=OF，
∴$\frac{ON}{BC}=\frac{NF}{CF}=\frac{OF}{BF}$=1，
∴ON=BC，
∴OF=$\frac{1}{2}$ON，
∵$\frac{EM}{MN}=\frac{OF}{ON}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OM}{MN}=\frac{1}{2}$，
設(shè)EM=OM=x，則MN=2x，AD=EM=x，
∴OD=BC=ON=3x，
∴OA=2x，
∴OA：AD=2：1．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（3）中，通過作輔助線證明兩次三角形全等以及由平行線得出比例式才能得出結(jié)論．