Question

拋物線y=-（x-1）²+4與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．
（1）直接寫(xiě)出A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)，并求四邊形ABCD的面積；
（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使S_△ABP=

10

9

S_ABDC？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)直接在坐標(biāo)系中找出即可，進(jìn)而分割四邊形求出即可；
（2）利用（1）中所求得出S_△ABP=10，進(jìn)而求出P點(diǎn)縱坐標(biāo)，再代入拋物線解析式求出橫坐標(biāo)即可．

解答：解；（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵拋物線y=-（x-1）²+4與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），
∴當(dāng)y=0時(shí)，0=-（x-1）²+4，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∵拋物線與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D，
∴C（0，3），D（1，4），
∴四邊形ABCD的面積=S_△AEC+S_△COED+S_△BED
=

1

2

×1×3+

1

2

×（3+4）×1+

1

2

×2×4，
=

3

2

+

7

2

+4，
=9；

（2）在拋物線上存在點(diǎn)P，使S_△ABP=

10

9

S_ABDC，
理由：∵S_△ABP=

10

9

S_ABDC，
∴S_△ABP=

10

9

×9=10，
∵AB=4，
∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)可能為：±5，
∵頂點(diǎn)坐標(biāo)D（1，4），
∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為：-5，
當(dāng)y=-5，
∴-5=-（x-1）²+4
解得：x₁=4，x₂=-2，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，-5）或（-2，-5）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合中點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)以及圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)求法和四邊形面積求法等知識(shí)，根據(jù)已知得出P點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．