Question

2．【觀察發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，若點A、B在直線l同側(cè)，在直線l上找一點P，使AP+BP的值最小．作法如下：作點B關(guān)于直線l的對稱點B′，連接AB′，與直線l的交點就是所求的點P．
（2）如圖2，在等邊三角形ABC中，AB=4，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最小．
作法如下：作點B關(guān)于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P，故BP+PE的最小值為$2\sqrt{3}$．
【實踐運用】
如圖3，菱形ABCD中，對角線AC、BD分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點，若點P是BD上的動點，則MP+PN的最小值是5．
【拓展延伸】
（1）如圖4，正方形ABCD的邊長為5，∠DAC的平分線交DC于點E．若點P，Q分別是AD和AE上的動點，則DQ+PQ的最小值是$\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
（2）如圖5，在四邊形ABCD的對角線BD上找一點P，使∠APB=∠CPB．保留畫圖痕跡，并簡要寫出畫法．

Answer 1

分析 【觀察發(fā)現(xiàn)】（2）根據(jù)勾股定理求出CE的長度即為所求；
【實踐運用】作點N關(guān)于BD的對稱點N′，連接MN′交BD于點P，求出MN′的長度即為所求；
【拓展延伸】（1）作點D關(guān)于AE的對稱點D′，過點D′作D′P⊥AD，交AE于點Q，求出D′P的長度即可；
（2）作點C關(guān)于BD的對稱點C′，連接AC′并延長交于BD于點P，則點P即為所求；

解答 解：
【觀察發(fā)現(xiàn)】（2）如圖

在等邊三角形ABC中，AB=4，點E是AB的中點，
∴∠BEC=90°，BE=2，BC=4，
由勾股定理可求：CE=$\sqrt{B{C}^{2}-B{E}^{2}}$=$2\sqrt{3}$，
∴BP+PE的最小值為$2\sqrt{3}$；
【實踐運用】如圖3，

作點N關(guān)于BD的對稱點N′，連接MN′交BD于點P，此時MP+PN的最小，MP+PN=MN′，
∵菱形ABCD中，M、N分別是邊BC、CD的中點，
∴由菱形的軸對稱性可知，點N′為AD的中點，
易證MN′=AB，
∵菱形ABCD中，對角線AC、BD分別為6和8，
∴∠APB=90°，AP=3，BP=4，
由勾股定理可求，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴MN′=AB=5，
∴MP+PN的最小值是5；
【拓展延伸】（1）如圖4，

作點D關(guān)于AE的對稱點D′，
∵AE是∠DAC的平分線，
∴點D′在AD上，
過點D′作D′P⊥AD，交AE于點Q，此時DQ+PQ最小，DQ+PQ=D′P，
∵正方形ABCD的邊長為5，
∴AD′=5，∠D′AP=45°，
∴$\frac{D′P}{AD′}$=sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得；D′P=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴DQ+PQ的最小值是$\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
（2）
如圖5，

作點C關(guān)于BD的對稱點C′，連接AC′并延長交于BD于點P，則點P即為所求．

點評 此題主要考查軸對稱在解決線段和最小的問題，熟悉對稱點的運用和畫法，知道何時線段和最小，會運用勾股定理求線段長度是解題的關(guān)鍵．