Question

11．在同一平面內，△ABC和△ABD如圖①放置，其中AB=BD．
小明做了如下操作：
將△ABC繞著邊AC的中點旋轉180°得到△CEA，將△ABD繞著邊AD的中點旋轉180°得到△DFA，如圖②，請完成下列問題：
（1）試猜想四邊形ABDF是什么特殊四邊形，并說明理由；
（2）連接EF，CD，如圖③，求證：四邊形CDFE是平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）根旋轉的性質得AB=DF，BD=FA，由于AB=BD，所以AB=BD=DF=FA，則可根據菱形的判定方法得到四邊形ABDF是菱形；
（2）由于四邊形ABDF是菱形，則AB∥DF，且AB=DF，再根據旋轉的性質易得四邊形ABCE為平行四邊形，根據平行四邊形的性質得AB∥CE，且AB=CE，所以CE∥FD，CE=FD，所以可判斷四邊形CDEF是平行四邊形．

解答 （1）解：四邊形ABDF是菱形．理由如下：
∵△ABD繞著邊AD的中點旋轉180°得到△DFA，
∴AB=DF，BD=FA，
∵AB=BD，
∴AB=BD=DF=FA，
∴四邊形ABDF是菱形；

（2）證明：∵四邊形ABDF是菱形，
∴AB∥DF，且AB=DF，
∵△ABC繞著邊AC的中點旋轉180°得到△CEA，
∴AB=CE，BC=EA，
∴四邊形ABCE為平行四邊形，
∴AB∥CE，且AB=CE，
∴CE∥FD，CE=FD，
∴四邊形CDEF是平行四邊形．

點評 本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了平行四邊形的判定和菱形的判定．