Question

6．如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E，連接AE，F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，且∠BFE=∠C．
（1）求證：△ABF∽△EAD；
（2）若AD=3，∠BAE=30°，求BF的長．（計算結(jié)果保留根號）

Answer 1

分析 （1）可通過證明∠BAF=∠AED，∠AFB=∠D，證得△ABF∽△EAD；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到BE⊥AB，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到tan∠BAE=$\frac{AB}{EA}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：在平行四邊形ABCD中，
∵∠D+∠C=180°，AB∥CD，
∴∠BAF=∠AED．
∵∠AFB+∠BFE=180°，∠D+∠C=180°，∠BFE=∠C，
∴∠AFB=∠D，
∴△ABF∽△EAD；

（2）解：∵BE⊥CD，AB∥CD，
∴BE⊥AB．
∴∠ABE=90°．
在Rt△ABE中，∠BAE=30°，
∴tan∠BAE=$\frac{AB}{EA}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵由（1）知，△ABF∽△EAD，
∴$\frac{AB}{EA}=\frac{BF}{AD}$，
∵AD=3，
∴BF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，同時也用到了平行四邊形的性質(zhì)和等角的補(bǔ)角相等等知識點(diǎn)．