Question

6．如圖，將邊長為6的正方形ABCO放置在直角坐標(biāo)系中，使點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)C在y軸正半軸上．點(diǎn)M（t，0）在x軸上運(yùn)動，過A作直線MC的垂線交y軸于點(diǎn)N．
（1）當(dāng)t=2時，tan∠NAO=$\frac{1}{3}$；
（2）在直角坐標(biāo)系中，取定點(diǎn)P（3，8），則在點(diǎn)M運(yùn)動過程中，當(dāng)以M、N、C、P為頂點(diǎn)的四邊形是梯形時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0）或（4+$\sqrt{34}$，0）或（4-$\sqrt{34}$，0）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)余角的定義，可得∠CMO+∠NAO，∠CMO+∠MCO，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠NAO=∠MCO，根據(jù)等角的三角函數(shù)值相等，可得tan∠NAO的值；
（2）分別從CN∥PM與PN∥CM（當(dāng)M在x軸正半軸與負(fù)半軸）時，去分析求解，注意利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案．

解答 解：（1）∵AN⊥CM，
∴∠CMO+∠NAO=90°．
∵四邊形ABCO是正方形，
∴∠AOC=90°，
∴∠CMO+∠MCO=90°．
∴∠NAO=∠MCO．
∴tan∠NAO=tan∠MCO=$\frac{MO}{CO}$=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$；
（2）①如圖1，
當(dāng)CN∥PM時，
∵P（3，8），
∴M₁（3，0）；
②如圖2，
當(dāng)PN∥CM時，
則∠PNH=∠MCO，
過點(diǎn)P作PH⊥ON于H，
則∠PHN=∠MOC=90°，
則△PHN∽△MOC，
故$\frac{PH}{OM}$=$\frac{NH}{OC}$，
設(shè)點(diǎn)M（a，0），則N（0，a）（a＞0），
則NH=a-8，PH=3，OC=6，OM=a，
故$\frac{3}{a}$=$\frac{a-8}{6}$，
解得：a=4+$\sqrt{34}$；
故M₂（4+$\sqrt{34}$，0）；
③如圖3，
，
當(dāng)CM∥PN時，
則∠PNH=∠CMO，
過點(diǎn)P作PH⊥ON于H，
則∠PHN=∠COM=90°，
則△PHN∽△COM，
故$\frac{PH}{OC}$=$\frac{NH}{OM}$，
設(shè)點(diǎn)M（-b，0），則N（0，-b）（b＞0），
則NH=3，PH=8+b，OC=6，OM=b，
則$\frac{8+b}{6}$=$\frac{3}$，
解得：b=$\sqrt{34}$-4；
故M₂（4-$\sqrt{34}$，0）．
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0）或（4+$\sqrt{34}$，0）或（4-$\sqrt{34}$，0）．
故答案為：（1）$\frac{1}{3}$；（2）（3，0）或（4+$\sqrt{34}$，0）或（4-$\sqrt{34}$，0）．

點(diǎn)評 此題考查了一次函數(shù)綜合題，利用了正方形的性質(zhì)、梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義等知識．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．