Question

如圖，直線l與y軸、x軸分別交于點A（0，-2）和點B（-

3

2

，0）．

（1）求直線l的解析式；
（2）點D是直線l上的一個動點，C點的坐標(biāo)是（1，0），以CD為邊在一側(cè)作正方形CDEF（如圖所示），當(dāng)正方形的一個頂點恰好落在y軸上時（D點除外），求出對應(yīng)的D點的坐標(biāo)；
（3）若點M、點N分別為邊EF和FC上的兩個點，并且∠MDN=45°，問：在點D運動的過程中，△FMN的周長是否存在最小值？若存在，求出周長的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：常規(guī)題型

分析：（1）將A，B兩點代入直線解析式y(tǒng)=kx+b，即可求得k，b的值即可解題；
（2）正方形頂點F落于y軸上，且C點橫坐標(biāo)為1，可得D點縱坐標(biāo)為1，即可求得D點坐標(biāo)；
（3）易證△FMN的周長為正方形CDEF邊長的2倍，即可求得△FMN的周長存在最小值時D點坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)直線l解析式為y=kx+b，
∵A，B兩點在直線l上，
∴b=-2，k=-

4

3

，
∴直線l解析式為y=-

4

3

x-2；
（2）正方形頂點F落于y軸上，且C點橫坐標(biāo)為1，
∴D點縱坐標(biāo)為1，
將y=1，代入y=-

4

3

-2中，得x=-

9

4

．
∴D點坐標(biāo)為（-

9

4

，1）；
（3）將△DCN向左旋轉(zhuǎn)90°得到△DEQ，

∵CD=DE，∴Q，E，F(xiàn)三點一線，
∵DMN=45°，∴∠QDM=∠EDM+∠CDN=45°，
在△DMQ和△DMN中，

DM=DM ∠QDM=∠NDM DQ=DN

，
∴△DMQ≌△DMN（SAS），
∴MN=QM=EM+CN，
∴△FMN周長=FM+FN+MN=2CD，
∴在點D運動的過程中，△FMN的周長存在最小值．
即讓CD最短即可，C點到直線l最短距離為垂線段長度，即CD⊥l即可，
∴直線CD的斜率

3

4

，
設(shè)直線CD解析式為y=

3

4

x+b，
∵直線CD經(jīng)過C點，代入C點坐標(biāo)得b=-

3

4

，
直線CD解析式為y=

3

4

x-

3

4

，
直線CD與l的交點為（-

3

5

，-

6

5

），
故點D坐標(biāo)為（-

3

5

，-

6

5

）時，△FMN周長有最小值為4．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了一次函數(shù)的交點問題，本題中求證△FMN周長是CD長的2倍是解題的關(guān)鍵．