Question

4．如圖，在△ABC中，三角形內(nèi)角平分線AD，BE，CF相交于點(diǎn)I，IH⊥BC于點(diǎn)H，求證：∠BID=∠HIC．

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理可知∠BAD+∠ABI+∠HCI=90°．又因?yàn)椤螧AD+∠ABI=∠BID，90°-∠HCI=∠CIH，所以∠BID=∠CIH．

解答 證明：∵AD，BE，CF為三角形ABC的角平分線，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠ABI=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠HCI=$\frac{1}{2}$∠ACB．
∴∠BAD+∠ABI+∠HCI=$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×180°=90°．
∴∠BAD+∠ABI=90°-∠HCI．
又∵∠BAD+∠ABI=∠BID，90°-∠HCI=∠CIH
2（∠BAD+∠ABI+∠HCI）=180°，
∴∠BAD+∠ABI+∠HCI=90°，
∴∠BID=∠CIH．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形三個(gè)內(nèi)角的和為180°是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．