Question

4．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+b經(jīng)過兩點D（0，4），E（4，0），邊長為2個單位長度的等邊△ABC，頂點A在該直線上滑動，在滑動過程中始終保持邊BC∥x軸，且頂點A在BC的上方．
（1）求直線DE的函數(shù)解析式；
（2）在滑動過程中，當(dāng)點C恰好落在坐標(biāo)軸上時，求此時點B的坐標(biāo)；
（3）在滑動過程中，當(dāng)△ABC與△DOE重疊部分的面積為△ABC面積的$\frac{1}{8}$時，求此時點A到坐標(biāo)軸的最大距離．

Answer 1

分析 （1）題目已知D、E兩點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式即可．
（2）過點A作AD⊥BC于點D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出AD及CD的長，設(shè)A（x，-x+4），由AD及CD的長可用x表示出C的坐標(biāo)，再根據(jù)點C在坐標(biāo)軸上求出x的值即可．
（3）△ABC與△DOE重疊部分的面積為△ABC面積的$\frac{1}{8}$時，分為兩種情況，見解答圖形，兩種情況都通過三角形相似，第一種情況點A應(yīng)該到x軸距離最大，第二種情況，點A到y(tǒng)軸距離最大，分別求出兩個距離，作比較選較大的距離即可．

解答 解：（1）將點D（0，4），E（4，0）帶入直線y=kx+b，
得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{0=4k+b}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=4．
故直線DE的函數(shù)解析式為：y=-x+4

（2）過點A作AD′⊥BC于點D′，

∵等邊△ABC的邊長為2，
∴CD′=1，AD′=$\sqrt{3}$．
設(shè)A（x，-x+4），則C（x+1，-x+4-$\sqrt{3}$），
∴當(dāng)點C在y軸上時，x+1=0，即x=-1，
∴C（0，5-$\sqrt{3}$），
∴B（-2，5-$\sqrt{3}$）；
當(dāng)點C在x軸上時，-x+4-$\sqrt{3}$=0，解得x=4-$\sqrt{3}$，
∴C（4-$\sqrt{3}$，0），
∴B（2-$\sqrt{3}$，0）．
故B點坐標(biāo)為（-2，5-$\sqrt{3}$）或（2-$\sqrt{3}$，0）．

（3）當(dāng)△ABC與△DOE重疊部分靠近y軸時，
設(shè)AC邊與y軸交于點M，BC邊交y軸于點N，
∵M(jìn)N∥AD′，
∴△CMN∽△CAD′，
∵△CMN的面積為△ABC面積的$\frac{1}{8}$，
∴△CMN的面積為△CD′A面積的$\frac{1}{4}$，
∴CN：CD′=1：2，
∴CN=D′N=$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$，
∴D′點橫坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$，A點橫坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$．
將x=-$\frac{1}{2}$帶入直線DE得y=$\frac{9}{2}$，
∴此時，點A到坐標(biāo)軸的最大距離為$\frac{9}{2}$．①
當(dāng)△ABC與△DOE重疊部分靠近x軸時，
設(shè)AC邊與x軸交于點Q，AB邊交X軸于點P，
∵PE∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∵△APQ的面積為△ABC面積的$\frac{1}{8}$，
$\frac{AZ}{AD}$=$\frac{1}{\sqrt{8}}$，
AZ=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴點A的縱坐標(biāo)為$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
將y=$\frac{\sqrt{6}}{4}$代入直線DE得x=4-$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴此時，點A到坐標(biāo)軸的最大距離為4-$\frac{\sqrt{6}}{4}$．②
綜合①、②得點A到坐標(biāo)軸的最大距離為$\frac{9}{2}$．
答：點A到坐標(biāo)軸的最大距離為$\frac{9}{2}$．

點評 本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意的是（2）中，要根據(jù)B點的不同位置進(jìn)行分類求解，（3）中根據(jù)△ABC與△DOE重疊部分的不同位置進(jìn)行分類求解．