Question

7．如圖，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分別過B，C向經(jīng)過點A的直線EF作垂線，垂足為E，F(xiàn)．
（1）當(dāng)EF與斜邊BC不相交時，請證明EF=BE+CF（如圖1）；
（2）如圖2，當(dāng)EF與斜邊BC這樣相交時，其他條件不變，寫出EF、BE、CF的關(guān)系EF=BE-CF（不證明）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件容易證明△BEA≌△AFC，然后利用對應(yīng)邊相等就可以證明題目的結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，則BE=AF，AE=CF，就可以求出EF=BE-CF．

解答 （1）證明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠EBA，
在△ABE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEA=∠AFC=90°}\\{∠EBA=∠CAF}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△BEA≌△AFC．
∴EA=FC，BE=AF．
∴EF=EA+AF=BE+CF．
（2）結(jié)論：EF=BE-CF．
理由是：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEA=∠AFC=90°}\\{∠EBA=∠CAF}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△BEA≌△AFC．
∴EA=FC，BE=AF．
∵EF=AF-AE，
∴EF=BE-CF．
故答案為：EF=BE-CF．

點評 本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，利用它們解決問題，經(jīng)常用全等來證線段和的問題．