Question

9．在等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°，若BC=10，求BE•CD．

Answer 1

分析 易知∠B=∠C，只需再證明一對角相等即可．根據(jù)外角易證∠BAE=∠ADC．根據(jù)勾股定理，BC²=2AB²，所以需證AB²=BE•CD．進(jìn)而解答即可．

解答 解：在Rt△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．                               
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠DAE=45°，
∴∠BAE=∠BAD+45°．                                    
而∠ADC=∠BAD+∠B=∠BAD+45°，
∴∠BAE=∠CDA．                                          
∴△ABE∽△DCA．                                         

（2）由△ABE∽△DCA，得$\frac{BE}{AB}=\frac{AC}{CD}$．                      
∴BE•CD=AB•AC．                                          
而AB=AC，BC²=AB²+AC²，
∴BC²=2AB²．                                              
∴BC²=2BE•CD，
∴BE•CD=50

點評 此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，特別是與勾股定理聯(lián)系起來綜合性很強，難度較大．