Question

如圖，正方形ABCD的邊長為8cm，動點P由點C出發(fā)沿折線CB-BA-AD向終點D運動，速度為acm/s；點Q由點B出發(fā)，以

2

cm/s的速度沿對角線BD向終點D運動．兩點同時出發(fā)，當(dāng)其中有一個點到達終點時另一個點也停止運動．設(shè)運動時間為t（s）．

（1）若a=3，求PQ所在直線與BC垂直時t的值；
（2）若a=6，在整個運動過程中，以PQ為直徑的圓與直線BD有幾次相切，并求出相切時t的值；
（3）是否存在大于2的正數(shù)a，使得在整個運動過程中，以PQ為直徑的圓與直線BD相切三次？若存在，請直接寫出a的值或范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：動點型

分析：（1）分類討論：P在BC上，P在AD上，根據(jù)速度與時間的關(guān)系，可得PC、BQ的長，根據(jù)勾股定理，可得答案；
（2）分類討論：P在BC上，P在AD上，P在AB上，運動過程中，已知∠PBQ=45°，直線與圓相切時，PQ⊥BD，圍繞等腰直角三角形的兩邊關(guān)系，建立方程求解，可得答案；
（3）分類討論：P在BC上，P在AD上，P在AB上，根據(jù)切線的性質(zhì)，可得直角三角形，根據(jù)勾股定理，可得答案．

解答：解：（1）如圖1；
，
P在BC上時，由題意得PC=3t，BP=8-3t，BQ=

2

t，
由△BPQ是等腰直角三角形，得
BP=

2

BP，
即

2

（8-3t）=

2

t，
解得t=2；
P在AD上時，PD=8×3-3t，DQ=8

2

-

2

t，
由△DPQ是等腰直角三角形，得
DQ=

2

DP，即

2

（24-3t）=

2

（8-t），
解得t=8，
當(dāng)t=8時，P、Q、D重合，PQ不直線不確定，
綜上所述：t=2時，PQ所在直線與BC垂直；
（2）①當(dāng)P點在BC上時，PQ⊥BD，⊙O與直線BD相切，
由△BQP為等腰直角三角形，得

2

BQ=PB，即

2

×

2

t=8-6t，
解得t₁=1，
②當(dāng)P點在AC上時，PQ⊥BD，⊙O與直線BD相切，
△BQP為等腰直角三角形，

2

BQ=PB，即

2

×

2

t=6t-8，
解得t₂=2，
③當(dāng)P點在AD上時，PQ⊥BD，⊙O與直線BD相切，
由△DQP為等腰直角三角形，得

2

DQ=PB，即

2

（8

2

-

2

t）=24-6t，
t₃=2（不合題意的要舍去）；
綜上所述：t=1時，當(dāng)P點在BC上時，PQ⊥BD，⊙O與直線BD相切；
t=2時，當(dāng)P點在AC上時，PQ⊥BD，⊙O與直線BD相切；
（3）不存在，由（2）可知，當(dāng)P點在AD上時，P、Q重合，⊙O不存在，
∴⊙O與直線BD相切只能兩次相切，
即t=1時，當(dāng)P點在BC上時，PQ⊥BD，⊙O與直線BD相切；
t=2時，當(dāng)P點在AB上時，PQ⊥BD，⊙O與直線BD相切．

點評：本題考查了圓的綜合題，利用了切線的性質(zhì)，勾股定理，分類討論是解題關(guān)鍵，注意不符合題意的要舍去．