Question

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，直線l₁：y=$\frac{1}{2}$x與直線l₂：y=-x+6交于點A，l₂與x軸交于B，與y軸交于點C．
（1）求△OAC的面積；
（2）如點M在直線l₂上，且使得△OAM的面積是△OAC面積的$\frac{3}{4}$，求點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)直線解析式，求得C（0，6），再根據(jù)方程組的解，得出A（4，2），進而得到△OAC的面積；
（2）分兩種情況進行討論：①點M₁在射線AC上，②點M₂在射線AB上，分別根據(jù)點M的橫坐標(biāo)，求得其縱坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）在y=-x+6中，令x=0，解得y=6，
∴C（0，6），即CO=6，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-x+6}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴A（4，2），
∴S_△OAC=$\frac{1}{2}$×6×4=12；

（2）分兩種情況：
①如圖所示，當(dāng)點M₁在射線AC上時，過M₁作M₁D⊥CO于D，則△CDM₁是等腰直角三角形，
∵A（4，2），C（0，6），
∴AC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵△OAM的面積是△OAC面積的$\frac{3}{4}$，
∴AM₁=$\frac{3}{4}$AC=3$\sqrt{2}$，
∴CM₁=$\sqrt{3}$，
∴DM₁=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，即點M₁的橫坐標(biāo)為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
在直線y=-x+6中，當(dāng)x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$時，y=6-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴M₁（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，6-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）；

②如圖所示，當(dāng)點M₂在射線AB上時，過M₂作M₂E⊥CO于E，則△CEM₂是等腰直角三角形，
由題可得，AM₂=AM₁=3$\sqrt{2}$，
∴CM₂=7$\sqrt{3}$，
∴EM₂=$\frac{7}{2}\sqrt{6}$，即點M₂的橫坐標(biāo)為$\frac{7}{2}\sqrt{6}$，
在直線y=-x+6中，當(dāng)x=$\frac{7}{2}\sqrt{6}$時，y=6-$\frac{7}{2}\sqrt{6}$，
∴M₂（$\frac{7}{2}\sqrt{6}$，6-$\frac{7}{2}\sqrt{6}$）．
綜上所述，點M的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，6-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）或（$\frac{7}{2}\sqrt{6}$，6-$\frac{7}{2}\sqrt{6}$）．

點評 本題主要考查了兩直線相交的問題，解決問題的關(guān)鍵是掌握兩直線交點的坐標(biāo)的計算方法，解題時注意：兩條直線的交點坐標(biāo)，就是由這兩條直線相對應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組的解．