Question

如圖：AC是⊙O的直徑，弦CB平分∠ECA，BE⊥EC交⊙o于點(diǎn)D，連接AB、AD、BD．
（1）猜想BE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）求證：BD=BA；
（3）若AB=12，BC=5，求CD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）如圖，作輔助線；證明△BCE≌△BCF，得到∠EBC=∠FBC，∠OBC=∠OCB；根據(jù)∠OCB+∠FBC=90°，即可解決問題．
（2）證明∠BAD=∠BDA，即可解決問題．
（3）首先求出AC，進(jìn)而求出FC；求出BF；根據(jù)勾股定理求出DE，即可解決問題．

解答：解：（1）猜想：BE與⊙O相切；證明如下：
如圖，連接OB；過點(diǎn)B作BF⊥OC于點(diǎn)F；
∵BE⊥EC，弦CB平分∠ECA，
∴BE=BF；
在直角△BCE與直角△BFC中，

BC=BC BE=BF

，
∴△BCE≌△BCF（HL），
∠EBC=∠FBC；
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB；
∵BF⊥AC，
∴∠OCB+∠FBC=90°，故∠OBC+∠EBC=90°，
∴BE與⊙O相切．
（2）∵∠BAD=∠BCE，∠BCA=∠BDA，而∠BCE=∠BCF，
∴∠BAD=∠BDA，
∴BD=BA．
（3）∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°；
由勾股定理得：AC²=AB²+BC²，而AB=12，BC=5，
∴AC=13；由射影定理得：BC²=CF•AC，
∴CF=

25

13

；由勾股定理得：BF²=BC²-CF²，
∴BF=

60

13

；由△BCE≌△BCF得：
BE=BF=

60

13

，CE=CF=

25

13

，BD=AB=12；
由勾股定理得：DE²=BD²-BE²，
∴DE=

144

13

，CD=

144

13

-

25

13

=

119

13

；
即CD的長為

119

13

．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了切線的判定、勾股定理、射影定理及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是深入觀察分析、大膽猜測(cè)推理、科學(xué)求解論證．