Question

14．如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別為DC、BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠EAF=45°，連結(jié)EF，試說明DE+BF=EF．
解：將△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時AB與AD重合．由旋轉(zhuǎn)可得AB=ADMBGD，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°．
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°．
∴點(diǎn)G、B、F在同一條直線上．
∵∠EAF=45°，∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°
∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．
∴∠GAF=∠EAF．
又∵AG=AE，AF=AF．
∴△GAF≌△EAF．
∵GF=EF．
∴DE+BF=BG+BF=GF=EF．
（2）類比引申：
如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°，若∠B、∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系∠B+∠ADC=180°時，有EF=BE+DF．
（3）聯(lián)想拓展
如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°，試猜想BD、DE、EC滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程．

Answer 1

分析 （1）把△AEE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△ABG，可使AB與AD重合，證出△AFG≌△AFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG，即可得出答案；
（2）把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，證出△AFE≌△AFG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG，即可得出答案；
（3）把△ACE旋轉(zhuǎn)到ABF的位置，連接DF，證明△AFE≌△AFG（SAS），則EF=FG，∠C=∠ABF=45°，△BDF是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可作出判斷．

解答 解：將△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時AB與AD重合．由旋轉(zhuǎn)可得AB=ADMBGD，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°．
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°．
∴點(diǎn)G、B、F在同一條直線上．
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．
∴∠GAF=∠EAF．
又∵AG=AE，AF=AF．
∴△GAF≌△EAF．
∵GF=EF．
∴DE+BF=BG+BF=GF=EF，
故答案為EAF，△EAF，GF
（2）∠B+∠D=180°時，EF=BE+DF；
∵AB=AD，
∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，如圖2，

∴∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠FDG=180°，點(diǎn)F、D、G共線，
在△AFE和△AFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠FAE=∠FAG}\\{AF=AF}\end{array}\right.$
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
即：EF=BE+DF，
故答案為：∠B+∠ADC=180°；

（3）BD²+CE²=DE²．
理由是：把△ACE旋轉(zhuǎn)到ABF的位置，連接DF，
則∠FAB=∠CAE．

∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠CAE=45°，
又∵∠FAB=∠CAE，
∴∠FAD=∠DAE=45°，
則在△ADF和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{∠FAD=∠DAE}\\{AF=AE}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△ADE，
∴DF=DE，∠C=∠ABF=45°，
∴∠BDF=90°，
∴△BDF是直角三角形，
∴BD²+BF²=DF²，
∴BD²+CE²=DE²．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線得出全等三角形，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．