Question

16．一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x，y軸分別交于點A（2，0），B（0，4）．
（1）求該直線的解析式．
（2）請判斷點（1，2）是否在函數(shù)圖象上；
（3）O為坐標(biāo)原點，C（1，0）為OA上的點，D（1，2）為AB上的點，P為OB上一動點，求PC+PD的最小值，并求取得最小值時P點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）將點A、B的坐標(biāo)代入y=kx+b并計算出k、b的值，從而得出解析式；
（2）利用代入法驗證（1，2）是否在函數(shù)圖象上即可；
（3）取點C關(guān)于點O的對稱點為C′，連接DC′，即C′、P、D共線時，PC+PD的最小值是C′D．在直角三角形C′CD中，根據(jù)勾股定理，可得C′D的長，根據(jù)三角形的中位線定理已知點P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）把點A（2，0），B（0，4）代入解析式y(tǒng)=kx+b得：
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$
則一次函數(shù)的解析式為y=-2x+4；
（2）當(dāng)x=1時，y=-2×1+4=2，所以點在函數(shù)圖象上；
（3）如圖，

∵點C的坐標(biāo)為（1，0），
則C關(guān)于y軸的對稱點為C′（-1，0），
又∵點D的坐標(biāo)為（1，2），
連接C′D，設(shè)C′D的解析式為y=kx+b，
有$\left\{\begin{array}{l}{k+b=2}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴y=x+1是DC′的解析式，
∵x=0，
∴y=1，
即P（0，1）．
∵PC+PD的最小值=C′D，
∴由勾股定理得C′D=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用及最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合所學(xué)軸對稱變換來解決．