Question

【題目】在中，已知， ，于點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，，點(diǎn)在線(xiàn)段上，是的中點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)．

(1)如圖，若點(diǎn)在線(xiàn)段上，線(xiàn)段和之間的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ；

(2)在(1)的條件下，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上，且時(shí)，求證：；

(3)當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）見(jiàn)解析；（3）存在，，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）通過(guò)證△AEC≌△CMB，得到AE=CM并得到∠ACM+∠BCM=90°，進(jìn)而推導(dǎo)出AE⊥CM；

（2）如圖1，在Rt△ABC中，求得AB=12，再通過(guò)勾股定理及中位線(xiàn)定理，可得到FM=FG=5；

（3）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得，構(gòu)造全等△三角形（），再證，最后在Rt△PBF中利用勾股定理得求GF，進(jìn)而求得AF.

(1) 如圖1，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H．

∵， ，于點(diǎn)，

∴，．

∵是的中點(diǎn)，∴．∴

∴．

在和中，

∴（）．

∴，．∵

∴．

∴，∴．

（2）解:如圖1，過(guò)點(diǎn)作，且，連接CG，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H．

∵，，

∴，．

∴．

∵，．

∵是的中點(diǎn)，∴，∴，

∵，∴， ，

∴．

∵，

∴．

∴．

在和△BCM中

∴，

∴．

由(1)，知， ∴，

∴．

(3)解：存在．．理由如下:

方法一:如圖2，取中點(diǎn)，連接CG并延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得，連接，則．可證，∴．

∵，

∴，

∴．

∴．

∴．

由旋轉(zhuǎn)，知，∴，

∴．

又∵，，∴，

∴．

設(shè)，則，．

在Rt△PBF中， ，解得．

∴．

方法二:如圖3，作于點(diǎn)H．

∴．

∵，∴．

∴．

∵，，

∴，

．

∵，

∴．

∵，∴DE=3．

在Rt△ADE中，由勾股定理，得，

∵，∴．

∵，∴．

∴，

∴，即，解得．

設(shè)，則．

在中，由勾股定理，得

．

∵，，

∴，

∴，即，

解得，（舍去）．

∴．∴．