Question

20．已知，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的頂點坐標為A（-2，0），B（2，m），C（5，0）
（1）如圖1，當m=4時，
①△ABC的面積為14；
②點E為線段OC上一個動點，連結(jié)BE并延長交y軸于點D，使S_△ADE=S_△BCE，請求出點D的坐標；
（2）如圖2，當m＞0時，點F、N分別為線段AB、BC上一點，且滿足AF=3BF，BN=2CN，連結(jié)CF、AN交于點P，請直接寫出四邊形BFPN的面積（用含有m的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）①利用三角形的面積公式計算即可；
②設(shè)出點D坐標，表示BD的解析式，進而得出點E坐標，表示出AE，CE，最后用三角形的面積公式建立方程求解即可；
（2）如圖3，由BN=2CN得：S_△ABN=$\frac{2}{3}$S_△ABC=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×7m=$\frac{7m}{3}$，同理S_△BFC=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×7m=$\frac{7m}{8}$，S_△AFP=3S_△BFP，S_△BPN=2S_△PNC，設(shè)S_△BFP=a，S_△PNC=b，則S_△AFP=3a，S_△BPN=2b，列方程組可得a、b的值，可得結(jié)論．

解答 解：（1）①如圖1，過點B作BH⊥AC于D，
當m=4時，B（2，4），
∴BH=4，
∵A（-2，0），C（5，0），
∴AC=7，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC×BH=$\frac{1}{2}$×7×4=14，
故答案為：14；

②如圖2，設(shè)D（0，b），
∵B（2，4），
設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b
把B（2，4）代入得：4=2k+b
k=$\frac{4-b}{2}$
∴直線BD的解析式為y=$\frac{4-b}{2}$x+b，
∴E（$\frac{2b}{b-4}$，0），
∴AE=$\frac{2b}{b-4}$+2，CE=4-$\frac{2b}{b-4}$，
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}$AE×OD=$\frac{1}{2}$（$\frac{2b}{b-4}$+2）×（-b），
S_△BCE=$\frac{1}{2}$CE×|y_B|=$\frac{1}{2}$（4-$\frac{2b}{b-4}$）×4，
∵S_△ADE=S_△BCE，
∴$\frac{1}{2}$（$\frac{2b}{b-4}$+2）×（-b）=$\frac{1}{2}$（4-$\frac{2b}{b-4}$）×4，
∴b=4（舍）或b=-4，
∴D（0，-4）；

（2）如圖3，∵BN=2CN，
∴BN=$\frac{2}{3}$BC，
∴S_△ABN=$\frac{2}{3}$S_△ABC=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×7m=$\frac{7m}{3}$，
∵AF=3BF，
∴BF=$\frac{1}{4}$AB，
∴S_△BFC=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×7m=$\frac{7m}{8}$，
連接BP，
∵AF=3BF，BN=2CN，
∴S_△AFP=3S_△BFP，S_△BPN=2S_△PNC，
設(shè)S_△BFP=a，S_△PNC=b，則S_△AFP=3a，S_△BPN=2b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b={S}_{△ABN}=\frac{7m}{3}}\\{a+3b={S}_{△BFC}=\frac{7m}{8}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{21m}{40}}\\{b=\frac{7m}{60}}\end{array}\right.$，
∴S_{四邊形BFPN}=S_△BFP+S_△BPN=a+2b=$\frac{21m}{40}$+2×$\frac{7m}{60}$=$\frac{91m}{120}$．

點評 此題是三角形與點的坐標的綜合題，主要考查了三角形的面積公式，待定系數(shù)法；解②的關(guān)鍵是用面積相等建立方程，解（2）的關(guān)鍵是利用同高三角形面積的比等于對應底邊的比．