Question

20．△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，CE⊥AD于D，BF⊥AD于F，連接BE、CF．
（1）求證：四邊形BECF為平行四邊形．
（2）延長BE交AC于G，若DG∥AB，試判斷△ACF的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂直的定義得到∠CED=∠BFD=90°，由D為BC的中點(diǎn)，得到BD=CD，推出△BFD≌△CED（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BF=CE，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)D為BC的中點(diǎn)，DG∥AB，得到AG=CG，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到EG=$\frac{1}{2}$AC，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到EG=$\frac{1}{2}$CF，即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵CE⊥AD于D，BF⊥AD于F，
∴∠CED=∠BFD=90°，
∵D為BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD，
在△BFD和△CED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFD=∠CED}\\{BD=CD}\\{∠BDF=∠CDE}\end{array}\right.$，
∴△BFD≌△CED（AAS），
∴BF=CE，
∴四邊形BFCE是平行四邊形；
（2）等腰三角形，
理由：∵D為BC的中點(diǎn)，DG∥AB，
∴AG=CG，
∵∠AEC=90°，
∴EG=$\frac{1}{2}$AC，
∵四邊形BFCE是平行四邊形，
∴EG∥CF，
∴AE=FE，
∴EG=$\frac{1}{2}$CF，
∴AC=CF，
∴△ACF是等腰三角形．

點(diǎn)評 本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，平行線等分線段定理，三角形的中位線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵．