Question

18．已知AB∥CD，BC=CD，點E在直線BC上，連接AE，∠BCD=∠DAE=60°．
（1）當(dāng)點E在BC邊上時，如圖1，求證：AB+BE=DC；
（2）如圖2、圖3，線段AB、BE、DC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，不需要證明；
（3）在（1）、（2）的條件下，若BE=2，∠AEB=15°，則CD=$\sqrt{3}$+1或2$\sqrt{3}$-2．

Answer 1

分析 （1）連接BD，在BD上截取BF=BA，連接AF，構(gòu)造等邊三角形和全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，以及線段的和差關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)即可；
（2）分兩種情況討論：如圖2，連接BD并延長，在BD上截取BF=BA，連接AF，證得線段AB、BE、DC的數(shù)量關(guān)系為：AB-BE=DC；如圖3，連接DB并延長，在DB的延長線上截取BF=BA，連接AF，證得線段AB、BE、DC的數(shù)量關(guān)系為：BE-AB=DC；
（3）如圖4，由△ADF≌△AEB可得，∠ADF=15°，DF=2，在DF上截取FG=AF，根據(jù)AG=DG，列出方程求解；如圖5，由△ADF≌△AEB可得，∠ADF=15°，DF=2，在DB上截取BG=AB，根據(jù)AG=DG，列出方程求解．

解答 解：（1）如圖1，連接BD，在BD上截取BF=BA，連接AF，則
∵BC=CD，∠BCD=60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∴∠CDB=60°，BD=CD，
∵AB∥CD，
∴∠ABF=60°，∠ABE=120°，
∴△ABF是等邊三角形，
∴AF=AB=BF，∠AFD=120°，∠BAF=60°，
∴∠AFD=∠ABE，
又∵∠DAE=60°，
∴∠DAF=∠EAB，
∴△ADF≌△AEB（ASA），
∴DF=BE，
∵BF+DF=BD，
∴AB+BE=DC；

（2）如圖2，線段AB、BE、DC的數(shù)量關(guān)系為：AB-BE=DC；如圖3，線段AB、BE、DC的數(shù)量關(guān)系為：BE-AB=DC；
理由：如圖2，連接BD并延長，在BD上截取BF=BA，連接AF，則易證△BCD、△ABF都是等邊三角形，
∴AB=AF=BF，∠F=∠ABE=60°，∠BAF=∠DAE=60°，CD=BD，
∴∠DAF=∠EAB，
∴△ADF≌△AEB（ASA），
∴DF=BE，
∵BF-DF=BD，
∴AB-BE=DC；
如圖3，連接DB并延長，在DB的延長線上截取BF=BA，連接AF，則易證△BCD、△ABF都是等邊三角形，
∴AB=AF=BF，∠F=∠ABE=60°，∠BAF=∠DAE=60°，CD=BD，
∴∠DAF=∠EAB，
∴△ADF≌△AEB（ASA），
∴DF=BE，
∵DF-BF=BD，
∴BE-AB=DC；

（3）如圖4，BE=2，∠AEB=15°，則由△ADF≌△AEB可得，∠ADF=15°，DF=2，
在DF上截取FG=AF，則∠AGF=∠GAF=30°，∠ADF=∠DAG=15°，
∴∠GAB=90°，AG=DG，
設(shè)AB=BF=AF=x，則AG=$\sqrt{3}$x，GF=x，故DG=DF-GF=2-x，
∴$\sqrt{3}$x=2-x，
解得x=$\sqrt{3}$-1，
∴DB=2+$\sqrt{3}$-1=$\sqrt{3}$+1，
∴CD=$\sqrt{3}$+1；
如圖5，BE=2，∠AEB=15°，則由△ADF≌△AEB可得，∠ADF=15°，DF=2，
在DB上截取BG=AB，則∠AGB=∠GAB=30°，∠ADF=∠DAG=15°，
∴∠GAF=90°，AG=DG，
設(shè)AB=BF=AF=x，則AG=$\sqrt{3}$x，GB=x，故DG=DF-GF=2-2x，
∴$\sqrt{3}$x=2-2x，
解得x=4-2$\sqrt{3}$，
∴DB=2-（4-2$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$-2，
∴CD=2$\sqrt{3}$-2；
故答案為：$\sqrt{3}$+1或2$\sqrt{3}$-2．

點評 本題主要考查了三角形的綜合應(yīng)用，解題時需要運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)等，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，等邊三角形以及直角三角形．解題時注意方程思想的靈活運(yùn)用．