Question

5．y=ax²+bx+c過(guò)A（-3，0），B（1，0），頂點(diǎn)M（t，4），
（1）求a、b、c的值；
（2）C（-4，-6），D（1，-1），P在拋物線上位于x軸上方，求當(dāng)S_△CDP最大時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)相等，利用二次函數(shù)的對(duì)稱性求得頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得．
（2）首先確定出直線DC解析式，當(dāng)一條直線與直線DC平行，且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)P時(shí)，△PCD面積最大，設(shè)出直線解析式，與拋物線解析式聯(lián)立消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，且根的判別式等于0，求出m的值，即可確定出此時(shí)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），
∴此拋物線的對(duì)稱軸是直線x=$\frac{-3+1}{2}$=-1．
∴t=-1，
∴M（-1，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{a-b+c=4}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$；
（2）設(shè)直線DC解析式為y=kx+b，
將D與C坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=-6}\\{k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
故直線DC解析式為y=x-2，
設(shè)平行于直線DC，且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線方程為y=x+m，
此時(shí)直線與拋物線交于點(diǎn)P，使得△PCD的面積最大，
與二次函數(shù)解析式聯(lián)立消去y得：-x²-2x+3=x+m，
整理得：x²+3x+m-3=0，
則△=9-4（m-3）=0，
解得：m=$\frac{21}{4}$，
故此時(shí)直線方程為y=x+$\frac{21}{4}$，
x²+3x+$\frac{9}{4}$=0
（x+$\frac{3}{2}$）²=0，
解得：x₁=x₂=-$\frac{3}{2}$，則y=$\frac{15}{4}$，
則點(diǎn)P坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及拋物線與x軸的交點(diǎn)，兩直線平行時(shí)斜率滿足的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：“平行于直線DC，且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線方程與拋物線交點(diǎn)為P，使得△PCD的面積最大”．