Question

如圖，四邊形ABCD是長(zhǎng)方形（長(zhǎng)方形對(duì)邊相等且平行，四個(gè)角為直角），
（1）用直尺和圓規(guī)在邊CD上找一個(gè)點(diǎn)P，使△ADP沿著直線AP翻折后D點(diǎn)正好落在BC邊上的Q點(diǎn)（不寫作法，保留作圖痕跡）．連結(jié)AP，AQ，PQ
（2）在（1）中作的新圖形中，已知AB=5，AD=13，求CP的長(zhǎng)．
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，△PQM為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出BM的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：作圖—復(fù)雜作圖,等腰三角形的判定,矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）以A為圓心，以AD為半徑交BC于點(diǎn)Q，作出∠DAQ的平分線，交CD于點(diǎn)P；
（2）利用△ABQ∽△QCP，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等求得CP的值；
（3）求得PQ的長(zhǎng)，然后利用等腰三角形的定義即可進(jìn)行討論求解．

解答：解：（1）點(diǎn)P就是所求的圖形；
（2）在直角△ABQ中，BQ=

AQ2-AB2

=

132-52

=12，
則QC=BC-BQ=13-12=1，
∵∠AQP=∠ADC=90°，
∴∠AQB+∠PQC=90°，
又∵直角△ABQ中，∠BAQ+∠AQP=90°，
∴∠PQC=∠BAQ，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABQ∽△QCP，
∴

CP

BQ

=

QC

AB

，即

CP

12

=

1

5

，
解得：CP=

12

5

；
（3）當(dāng)P是頂角頂點(diǎn)時(shí)，M在CQ的延長(zhǎng)線上，CM=CQ=1，
則BM=13+1=14；
在直角△PCQ中，PQ=

PC2+CQ2

=

( 12 5 )2+12

=

13

5

，
當(dāng)Q是等腰三角形的頂角頂點(diǎn)時(shí)，QM=PQ=

13

5

，當(dāng)M在BQ上時(shí)，BM=BQ-QM=12-

13

5

=

47

5

；
當(dāng)Q在BQ的延長(zhǎng)線上時(shí)，BM=BQ+QM=12+

13

5

=

73

5

；
當(dāng)M是等腰三角形的頂角頂點(diǎn)時(shí)，M在PQ的中垂線上，如圖．
PN=

1

2

PQ=

1

2

×

13

5

=

13

10

，
∵∠PQC=∠BAQ，∠B=∠QNM=90°，
∴△ABQ∽△QNM，
∴

QM

AQ

=

QN

AB

，即

QM

13

=

13 10

5

，
解得：QM=

169

50

，
則BM=BQ+QM=12+

169

50

=

769

50

．
總之，BM=14或

47

5

或

73

5

或

769

50

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確對(duì)等腰三角形進(jìn)行討論是關(guān)鍵．