Question

4．如圖，拋物線y=ax²+bx-4a的對稱軸為直線x=$\frac{3}{2}$，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，4）．
（1）求拋物線的解析式，結(jié)合圖象直接寫出當(dāng)0≤x≤4時(shí)y的取值范圍；
（2）已知點(diǎn)D（m，m+1）在第一象限的拋物線上，點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)為點(diǎn)E，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把C（0，4）代入y=ax²+bx-4a得出a=-1，由對稱軸得出b=3，即可得出拋物線的解析式；結(jié)合圖象容易得出當(dāng)0≤x≤4時(shí)y的取值范圍；
（2）把點(diǎn)D（m，m+1）代入拋物線解析式，求出m的值；由題意得出CD∥AB，且CD=3，再證明△OBC是等腰直角三角形，得出∠OCB=∠DCB=45°，得出點(diǎn)E在y軸上，OE=1，即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答  解：（1）將C（0，4）代入y=ax²+bx-4a中得a=-1
又∵對稱軸為直線x=$\frac{3}{2}$，
∴$-\frac{2a}=\frac{3}{2}$，得b=3．
∴拋物線的解析式為y=-x²+3x+4，
∵y=-x²+3x+4=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{4}$．
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$），
∴當(dāng)0≤x≤4時(shí)y的取值范圍是0≤y≤$\frac{25}{4}$．
（2）∵點(diǎn)D（m，m+1）在拋物線上，
∴m+1=-m²+3m+4，
解得：m=-1，或m=3；
∵點(diǎn)D在第一象限，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，4）． 
又∵C（0，4），
∴CD∥AB，且CD=3．
當(dāng)y=-x²+3x+4=0時(shí)，
解得：x=-1，或x=4，
∴B（4，0）；
當(dāng)x=0時(shí)，y=4，
∴C（0，4），
∴OB=OC=4，
∴∠OCB=∠DCB=45°，
∴點(diǎn)E在y軸上，且CE=CD=3，
∴OE=1．
即點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1）．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、拋物線解析式的求法、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和解析式的求法是解決問題的關(guān)鍵．