Question

10．如圖，D是AB中點(diǎn)，且CB=CD，E為△ABC外一點(diǎn)，滿足CE=CA，過點(diǎn)B作BF⊥BC交EA延長線于E．求證：∠FDA=∠BEA．

Answer 1

分析 先判斷出BDM是直角三角形，再利用等腰三角形“三線合一的性質(zhì)”得出AH=EH，進(jìn)而用三角形的中位線平行于第三邊DH∥BE，繼續(xù)判斷出A、D、G、H四點(diǎn)在同一個圓上，再得出△ABF∽GMC，抓劃出$\frac{BD}{GM}=\frac{BF}{BM}$，進(jìn)而得出△BDF∽△MGB，再得出FN⊥BG，最后用同角的余角即可轉(zhuǎn)化出結(jié)論．

解答 證明：如圖，

延長BC至點(diǎn)M，使CM=CB，連接MD，過點(diǎn)C作CH⊥AE于點(diǎn)H，交MD于點(diǎn)G，連接AG、BG、DH，延長FD交BG于點(diǎn)N，
∵CB=CD，
∴CM=CB=CD，
∴△BDM是直角三角形，且∠BDM=90°，
即MD⊥AD，
又∵D是AD的中點(diǎn)，
∴AG=BG（線段垂直平分線的性質(zhì)），AD=BD，
∴∠AGD=∠BGD（等腰三角形“三線合一的性質(zhì)”）；
∵CE=CA，CH⊥AE，
∴AH=EH（等腰三角形“三線合一的性質(zhì)”），
又∵AD=BD，
∴DH∥BE（三角形的中位線平行于第三邊），
∴∠BEA=∠DHA；
∵M(jìn)D⊥AB，CH⊥AE，
∴∠ADG=∠AHG=90°，
∴∠ADG+∠AHG=180°，
∴A、D、G、H四點(diǎn)在同一個圓上，
∴∠AGD=∠DHA（同弧所對的圓周角相等），
∠BAF=∠DGH（圓內(nèi)接四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角），
∴∠BEA=∠BGD；
∵BF⊥BC，∠BDM=90°，
∴∠FBM=∠BDM=90°，
∴∠ADF+∠MBD=90°，∠M+∠MBD=90°，
∴∠ABF=∠M（同角的余角相等），
∵∠BAF=∠DGH，∠MGC=∠DGH，
∴∠BAF=∠MGC，
∴△ABF∽GMC（有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似），
∴$\frac{AB}{GM}=\frac{BF}{MC}$，
又∵AB=2BD，MC=$\frac{1}{2}$BM，
∴$\frac{2BD}{GM}=\frac{BF}{\frac{1}{2}BM}$，
即 $\frac{BD}{GM}=\frac{BF}{BM}$，
∵∠ABF=∠M，
∴△BDF∽△MGB（兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似），
∴∠BFD=∠MBG，
∴∠BFD+∠FBG=∠MBG+∠FBG，
即∠BFD+∠FBG=∠FBC=90°，
∴FN⊥BG，
∴∠BGD+∠GDN=90°，
∵∠ADG=90°，
∴∠FDA+∠GDN=90°，
∴∠BGD=∠FDA（同角的余角相等），
又∵∠BEA=∠BGD（已證），
∴∠FDA=∠BEA．

點(diǎn)評 此題是四點(diǎn)共圓，主要考查了直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解本題的關(guān)鍵是判斷出A、D、G、H四點(diǎn)共圓，作出輔助線是解本題的難點(diǎn)，是一道比較好的競賽題．