Question

13．如果一條拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），頂點(diǎn)為P，連接PA，PB，那么稱△PAB為這條拋物線的“拋物線三角形”．
（1）請(qǐng)寫(xiě)出“拋物線三角形”是等腰直角三角形時(shí)，拋物線的表達(dá)式（寫(xiě)出一個(gè)即可）；
（2）若拋物線y=-x²+bx（b＞0）的“拋物線三角形”是等邊三角形，求b的值；
（3）若拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）不存在“拋物線三角形”，則a、b、c之間應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式？請(qǐng)直接寫(xiě)出．

Answer 1

分析 （1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)可知P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為AB的一半，據(jù)此可設(shè)出P、A、B的坐標(biāo)，可寫(xiě)出拋物線的表達(dá)式；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于H，由等邊三角形的性質(zhì)可得到PH=$\sqrt{3}$AH，再用b表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，則可得到關(guān)于b的方程，可求得b的值；
（3）由條件可知P、A、B三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，則可知A、B重合或沒(méi)有A、B兩點(diǎn)，即拋物線與x軸有一個(gè)或沒(méi)有交點(diǎn)，則可得到a、b、c的關(guān)系．

解答 解：
（1）不妨設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為y軸，即設(shè)拋物線解析式為y=-x²+c（c＞0），
則P（0，c），A（-$\sqrt{c}$，0），B（$\sqrt{c}$，0），
∵△PAB為等腰直角三角形，
∴OP=OA=OB，即c=$\sqrt{c}$，解得c=1，
∴“拋物線三角形”是等腰直角三角形時(shí)，拋物線的表達(dá)式可以為y=-x²+1；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于H，

∵△PAB是等邊三角形，
∴PH=$\sqrt{3}$AH，
∵拋物線y=-x²+bx（b＞0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{2}$，$\frac{^{2}}{4}$），
∴$\frac{^{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}b}{2}$，解得b=2$\sqrt{3}$；

（3）當(dāng)拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）不存在“拋物線三角形”，
則P、A、B三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，即拋物線與x軸有一個(gè)或沒(méi)有交點(diǎn)，
∴方程ax²+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根或沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
∴b²-4ac≤0．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、一元二次方程與拋物線的關(guān)系等知識(shí)．在（1）（2）中利用拋物線線三角形的定義結(jié)合直角三角形得到P點(diǎn)縱坐標(biāo)和AB的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出拋物線滿足的條件是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，關(guān)系是理解拋物線三角形的定義．