Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)y=3x與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交于A，B兩點，點A的橫坐標(biāo)為2，AC⊥x軸，垂足為C，連接BC．
（1）求反比例函數(shù)的表達式；
（2）求△ABC的面積；
（3）若點P是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象上的一點，△OPC與△ABC面積相等，請直接寫出點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A點橫坐標(biāo)代入正比例函數(shù)可求得A點坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式可求得k，可求得反比例函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性得出點B的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式解答即可；
（3）由條件可求得B、C的坐標(biāo)，可先求得△ABC的面積，再結(jié)合△OPC與△ABC的面積相等求得P點坐標(biāo)．

解答 解：（1）把x=2代入y=3x中，得y=2×3=6，
∴點A坐標(biāo)為（2，6），
∵點A在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=2×6=12，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{12}{x}$；
（2）∵AC⊥OC，
∴OC=2，
∵A、B關(guān)于原點對稱，
∴B點坐標(biāo)為（-2，-6），
∴B到OC的距離為6，
∴S_△ABC=2S_△ACO=2×$\frac{1}{2}$×2×6=12，
（3）∵S_△ABC=12，
∴S_△OPC=12，
設(shè)P點坐標(biāo)為（x，$\frac{12}{x}$），則P到OC的距離為|$\frac{12}{x}$|，
∴$\frac{1}{2}$×|$\frac{12}{x}$|×2=12，解得x=1或-1，
∴P點坐標(biāo)為（1，12）或（-1，-12）．

點評 本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及函數(shù)的交點問題，在（1）中求得A點坐標(biāo)、在（2）中求得P點到OC的距離是解題的關(guān)鍵．