Question

7．如圖，在等腰三角形ABC中，點(diǎn)P、Q分別為線段BC、CA上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)以2cm/s的速度從B、C出發(fā)，當(dāng)P到達(dá)C或Q到達(dá)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，已知D為AB的中點(diǎn)，AB=AC=10cm，BC=8cm，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）經(jīng)過(guò)1.5秒后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）①當(dāng)t為2.5s時(shí)，四邊形ADPQ是菱形；
②當(dāng)t為$\frac{20}{7}$或$\frac{8}{7}$s時(shí)，△PCQ為直角三角形．

Answer 1

分析 （1）經(jīng)過(guò)1.5秒后，BP=CQ=3，則CP=BD=5，又由AB=AC得出∠B=∠C，根據(jù)SAS即可證明△BPD與△CQP全等；
（2）①如果四邊形ADPQ是菱形，那么AD=AQ，即10-2t=5，即可求出t的值；
②由于∠C≠90°，所以分兩種情況進(jìn)行討論：Ⅰ）∠CPQ=90°，由cos∠C=$\frac{CP}{CQ}$=$\frac{\frac{1}{2}BC}{AC}$，求出t的值；Ⅱ）∠CQP=90°，由cos∠C=$\frac{CQ}{CP}$=$\frac{\frac{1}{2}BC}{AC}$，求出t的值．

解答 解：（1）經(jīng)過(guò)1.5秒后，BP=CQ=1.5×2=3，
則CP=BC-BP=8-3=5．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
在△BPD與△CQP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=CQ}\\{∠B=∠C}\\{BD=CP}\end{array}\right.$，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；

（2）①∵四邊形ADPQ是菱形，
∴AD=AQ，即10-2t=5，
解得t=2.5；

②分兩種情況進(jìn)行討論：
Ⅰ）∠CPQ=90°，
∵cos∠C=$\frac{CP}{CQ}$=$\frac{\frac{1}{2}BC}{AC}$，
∴$\frac{8-2t}{2t}$=$\frac{4}{10}$，
解得t=$\frac{20}{7}$，符合題意；
Ⅱ）∠CQP=90°，
∵cos∠C=$\frac{CQ}{CP}$=$\frac{\frac{1}{2}BC}{AC}$，
∴$\frac{2t}{8-2t}$=$\frac{4}{10}$，
解得t=$\frac{8}{7}$，符合題意．
故t為$\frac{20}{7}$或$\frac{8}{7}$s時(shí)，△PCQ為直角三角形．
故答案為2.5；$\frac{20}{7}$或$\frac{8}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的判定，全等三角形的判定，等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義．利用數(shù)形結(jié)合、分類討論是解題的關(guān)鍵．