Question

17．如圖所示，已知等邊三角形ABC的外接圓⊙O的半徑為R，求△ABC的邊長a、周長P、邊心距r及面積S．

Answer 1

分析 連接OB，OA，延長AO交BC于D，根據等邊三角形性質得出AD⊥BC，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，∠OBD=30°，求出OD，根據勾股定理求出BD，即可求出BC，BC的三倍即為周長，根據三角形的面積公式即可求出面積．

解答 解：連接OB，OA，延長AO交BC于D，如圖所示：
∵正△ABC外接圓是⊙O，
∴AD⊥BC，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴邊心距r=OD=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$R，
由勾股定理得：BD=$\sqrt{O{B}^{2}-O{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
∴三角形邊長a=BC=2BD=$\sqrt{3}$R，AD=AO+OD=R+$\frac{1}{2}$R=$\frac{3}{2}$R，
∴△ABC的周長P=3BC=3×$\sqrt{3}$R=3$\sqrt{3}$R；
△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$BC×AD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$R×$\frac{3}{2}$R=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$R²．

點評 本題考查了等邊三角形、等腰三角形的性質、勾股定理、三角形的外接圓、三角形的面積等知識點；關鍵是能正確作輔助線后求出BD的長，題目具有一定的代表性，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力．