Question

20．如圖，拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）交x軸于A、B兩點，A點坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設點M是線段AC（不包括A、C兩點）上一點，過點M作MP∥y軸，交拋物線于點P，求線段PM的長的最大值，并寫出此時點M的坐標；
（3）過點C作CE∥x軸，交拋物線于點E，設點Q是CE上方的拋物線上一點，連接CQ，過點Q作QF∥y軸，交CG于點F，若以Q、C、F為頂點的三角形和△BOC相似，求點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據待定系數法，可得函數解析式；
（2）根據平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案；
（3）根據相似三角形的性質，可得關于t的方程，根據解方程，可得答案．

解答 解：（1）將A、C點坐標代入函數解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{9a-6a+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=3}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；
（2）直線AC：y=-x+3，設P（m，-m²+2m+3），M（m，-m+3），其中0＜m＜3，
PM=-m²+2m+3-（-m+3）=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
當m=$\frac{3}{2}$時，PM有最大值$\frac{9}{4}$，此時M（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
（3）設Q（t，-t²+2t+3），則F（t，3），其中0＜t＜2，
∴QT=-t²+2t，CF=t，
當y=0時，-x²+2x+3=0，解得x=-1，x=3，B（-1，0），
當x=0時，y=3，即C（0，3），
∴OB=1，OC=3，
∵∠BOC=∠QFC=90°，
?當△CFQ∽△BOC時，$\frac{CF}{QF}$=$\frac{BO}{CO}$，
∴$\frac{t}{-{t}^{2}+2t}$=$\frac{1}{3}$，∴t=-1（舍去）．
?當△QFC∽△BOC時，$\frac{QF}{CF}$=$\frac{BO}{CO}$，
∴$\frac{-{t}^{2}+2t}{t}$=$\frac{1}{3}$，
∴t=$\frac{5}{3}$，
由此可知，當以Q、C、F為頂點的三角形和△BOC相似，點Q的坐標為（$\frac{5}{3}$，$\frac{32}{9}$）．

點評 本題考查了二次函數綜合題，利用平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標得出二次函數是解題關鍵；利用相似三角形的性質得出關于t的方程是解題關鍵，要分類討論，以防遺漏．